TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 555

Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

$\left({\begin{array}{rrrrr}-2&1&3&-4&5\\-4&3&5&-6&7\\5&-4&-6&7&-8\\3&2&-4&5&-6\end{array}}\right)$

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Lösungsvorschlag

Der Rang einer Matrix wird laut Wikipedia von der Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich Null sind, bestimmt. Dafür muss die Matrix zuerst mithilfe von Zeilen und Spaltenumformungen in die entsprechende Form gebracht werden.

Angabe:

${\begin{pmatrix}-2&1&3&-4&5\\-4&3&5&-6&7\\5&-4&-6&7&-8\\3&2&-4&5&-6\end{pmatrix}}$

Zeile 3 und 4 werden mit 2 multipliziert:

${\begin{pmatrix}-2&1&3&-4&5\\-4&3&5&-6&7\\10&-8&-12&14&-16\\6&4&-8&10&-12\end{pmatrix}}$

Danach wird die erste Spalte "genullt":

${\begin{pmatrix}-2&1&3&-4&5\\0&1&-1&2&-3\\0&-3&3&-6&9\\0&7&1&-2&3\end{pmatrix}}$

...und die zweite auch:

${\begin{pmatrix}-2&1&3&-4&5\\0&1&-1&2&-3\\0&0&0&0&0\\0&0&8&-16&24\end{pmatrix}}$

Jetzt werden die dritte und die vierte Zeile vertauscht:

${\begin{pmatrix}-2&1&3&-4&5\\0&1&-1&2&-3\\0&0&8&-16&24\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

und zuletzt, der Form halber, die dritte Zeile durch 8 gekürzt:

${\begin{pmatrix}-2&1&3&-4&5\\0&1&-1&2&-3\\0&0&1&-2&3\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$ -> der Rang der Matrix ist 3, da wir drei Zeilen haben, die ungleich Null sind.

--D4da 21:53, 9. Jan. 2011 (CET)

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet. Für die nachfolgenden Beispiele sei $A={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}$ $det(A)={\begin{vmatrix}2&1\\3&4\end{vmatrix}}=2*4-1*3=5$ Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $\lambda$ mit einem Faktor $\lambda \in K$, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A')=\lambda *det(A)$. z.B.: $\lambda =3$ multipliziert mit 1. Spalte: $detA'={\begin{vmatrix}6&1\\9&4\end{vmatrix}}=6*4-1*9=15$
2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: $detA'={\begin{vmatrix}2&5\\3&10\end{vmatrix}}=2*10-3*5=5$
3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A_{r})=-det(A)$. z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: $detA'={\begin{vmatrix}1&2\\4&3\end{vmatrix}}=1*3-2*4=-5$

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\operatorname {rk} (f)=\dim(\operatorname {im} (f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 18:49, 5. Mär. 2026 (CET)

Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

$\left({\begin{array}{rrrrr}-2&1&3&-4&5\\-4&3&5&-6&7\\5&-4&-6&7&-8\\3&2&-4&5&-6\end{array}}\right)$

Wir werden nun den Rang der Matrix $A$bestimmen:

${\begin{alignedat}{1}A=&\left({\begin{array}{ccccc}-2&1&3&-4&5\\-4&3&5&-6&7\\5&-4&-6&7&-8\\3&2&-4&5&-6\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}(-1/2)\cdot Z1\to Z1\,\\Z2-2\cdot Z1\to Z2\,\\3\cdot Z3-5\cdot Z4\to Z3\,\\4\cdot Z4+3\cdot Z2\to Z4\,\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{ccccc}1&(-1/2)&(-3/2)&2&(-5/2)\\0&1&-1&2&-3\\0&-22&2&-4&6\\0&17&-1&2&-3\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}Z1+(1/2)\cdot Z2\to Z1\,\\\to Z2\,\\Z3+22\cdot Z2\to Z3\,\\Z4-17\cdot Z2\to Z4\,\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{ccccc}1&0&-2&3&-4\\0&1&-2&2&-3\\0&0&20&-40&60\\0&0&16&-32&48\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}Z1+(1/16)\cdot Z4\to Z1\,\\Z2+(1/16)\cdot Z4\to Z2\,\\Z3\cdot (1/20)\to Z3\,\\Z4\cdot (1/16)\to Z4\,\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&1&-1\\0&1&-2&2&0\\0&0&1&-2&3\\0&0&1&-2&3\end{array}}\right)\;{\begin{array}{r|}\,\\Z2+2\cdot Z3\to Z2\,\\\to Z3\,\\Z4-Z3\to Z4\,\end{array}}\to \\&\left({\begin{array}{ccccc}1&0&0&1&-1\\0&1&0&-2&6\\0&0&1&-2&3\\0&0&0&0&0\end{array}}\right)\;\end{alignedat}}$

D.h. der Rang $\operatorname {rk} (\,A\,)=3$. Die Matrix $A$ besteht aus drei linear unabhängigen Zeilenvektoren. $\qquad \quad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Äquivalenzumformung
• Rang einer Matrix

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