TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 556

Bestimmen Sie den Rang der folgenden reellen Matrizen:

$\left({\begin{array}{rrrrrr}3&0&3&-1&5&1\\-2&1&-1&1&1&1\\2&4&5&6&7&1\\7&1&-2&3&8&1\end{array}}\right)$

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Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Rang einer Matrix wird laut Wikipedia von der Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich Null sind, bestimmt. Dafür muss die Matrix zuerst mithilfe von Zeilen und Spaltenumformungen in die entsprechende Form gebracht werden.

Angabe:

${\begin{pmatrix}3&0&3&-1&5&1\\-2&1&-1&1&1&1\\2&4&5&6&7&1\\7&1&-2&3&8&1\end{pmatrix}}$

Das Erste was wir machen müssen ist, dass wir in den Ersten Spalten lauter 0 kriegen ( außer der ersten Zeile ) und das machen wir in dem wir die erste Zeile mit 2 multiplizieren + die zweite Zeile mit der 3 multiplizieren: 6 + 0 + 6 - 2 + 10 + 2 -6 + 3 - 3 + 3 + 3 + 3 = 0 + 3 + 3 + 1 + 13 + 5 , (das ist das Ergebnis für die Zweite Zeile).

Danach multiplizieren wir wieder die erste Zeile mit 2 + die dritte Zeile mall (-3): 6 + 0 + 6 - 2 + 10 + 2 -6 - 12 - 15 - 18 - 21 - 3= 0 - 12 - 9 - 20 - 11 - 1 , (das ist das Ergebnis für die Dritte Zeile).

Und zum Schluss multiplizieren wir wieder die erste Zeile mit 7 + die vierte Zeile mall (-3): 21 + 0 + 21 - 7 + 35 + 7 -21 - 3 + 6 - 9 - 24 - 3= 0 - 3 + 27 -16 + 11 + 4 , (das ist das Ergebnis für die Vierte Zeile). Die Matrix sollte dann so aussehen :

${\begin{pmatrix}3&0&3&-1&5&1\\0&3&3&1&13&5\\0&-12&-9&-20&-11&-1\\0&-3&27&-16&11&4\end{pmatrix}}$

Wir sehen das die Erste Spalte "genullt" ist ( außer der Ersten Zeile, die übernehmen wir so wie sie ist ).

Jetzt müssen wir in der zweiten Spalte lauter 0 haben ( außer in der Ersten und der Zweiten Zeile ) und das geht wie oben beschrieben nur das wir jetzt die zweite Zeile mit 4 multiplizieren + die dritte Zeile: 0 + 12 + 12 + 4 + 52 +20 0 - 12 - 9 -20 - 11 - 1 = 0 0 + 3 -16 + 41 +19 , (das ist das Ergebnis für die dritte Zeile).

Und zuletzt die Zweite Spalte + die vierte: 0 + 3 + 3 + 1 + 13 + 5 0 - 3 +27 -16 + 11 + 4 = 0 0 +30 -15 + 24 + 9 , (das ist das Ergebnis für die vierte Zeile). Die Matrix jetzt so aussehen :

${\begin{pmatrix}3&0&3&-1&5&1\\0&3&3&1&13&5\\0&0&3&-16&41&19\\0&0&30&-15&24&9\end{pmatrix}}$

und zuletzt, der Form halber, die vierte Zeile durch 3 gekürzt:

${\begin{pmatrix}3&0&3&-1&5&1\\0&3&3&1&13&5\\0&0&3&-16&41&19\\0&0&10&-5&8&3\end{pmatrix}}$

wie man sehen kann ist der Rang der Matrix 4, da wir vier Zeilen haben, die ungleich Null sind.

PAVO LEE ;)

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet. Für die nachfolgenden Beispiele sei $A={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}$ $det(A)={\begin{vmatrix}2&1\\3&4\end{vmatrix}}=2*4-1*3=5$ Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $\lambda$ mit einem Faktor $\lambda \in K$ , so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A')=\lambda *det(A)$ . z.B.: $\lambda =3$ multipliziert mit 1. Spalte: $detA'={\begin{vmatrix}6&1\\9&4\end{vmatrix}}=6*4-1*9=15$
Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: $detA'={\begin{vmatrix}2&5\\3&10\end{vmatrix}}=2*10-3*5=5$
Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A_{r})=-det(A)$ . z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: $detA'={\begin{vmatrix}1&2\\4&3\end{vmatrix}}=1*3-2*4=-5$

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben: