TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 521

Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung $A$ von $\mathbb {R} ^{3}$ in $\mathbb {R} ^{2}$ eine lineare Abbildung ist:
$A{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3x_{1}+5x_{2}-x_{3}\\-3x_{2}\end{pmatrix}}$

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}}

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Abbildung

Lineare Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,\boxplus ,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$ .

$f:V\rightarrow W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

$\forall {\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}}\oplus {\overrightarrow {y}})=f({\overrightarrow {x}})\boxplus f({\overrightarrow {y}})$
$\forall \lambda \in K:\quad f(\lambda {\overrightarrow {x}})=\lambda f({\overrightarrow {x}})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

\forall {\overrightarrow {x}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}})=M{\overrightarrow {x}}

Lösung von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Zusammenfassung aus der Diskussion im UE-Forum)

Zu zeigen ist:

Additivität:

$A{\begin{pmatrix}3(x_{1}+y_{1})+5(x_{2}+y_{2})-(x_{3}+y_{3})\\-3(x_{2}+y_{2})\end{pmatrix}}$ =

$A{\begin{pmatrix}3x_{1}+5x_{2}-x_{3}+3y_{1}+5y_{2}-y_{3}\\-3x_{2}-3y_{2}\end{pmatrix}}$ =

$A{\begin{pmatrix}3x_{1}+5x_{2}-x_{3}\\-3x_{2}\end{pmatrix}}+A{\begin{pmatrix}3y_{1}+5y_{2}-y_{3}\\-3y_{2}\end{pmatrix}}$

Homogenität:

$A{\begin{pmatrix}\lambda 3x_{1}+\lambda 5x_{2}-\lambda x_{3}\\-\lambda 3x_{2}\end{pmatrix}}$ = $A{\begin{pmatrix}\lambda (3x_{1}+5x_{2}-x_{3})\\\lambda (-3x_{2})\end{pmatrix}}$ = $\lambda A{\begin{pmatrix}3x_{1}+5x_{2}-x_{3}\\-3x_{2}\end{pmatrix}}$