TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 523

Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung $A$ von ${ℝ}^3$ in ${ℝ}^2$ eine lineare Abbildung ist:

$A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3x_1+5x_2-x_3\\ -3x_2\end{array}\right)$

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Hilfreiches von Har203

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,⊞,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

$f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V:f(\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})⊞f(\overrightarrow{y})$
2. $\mathrm{\forall }\lambda \in K:f(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in V:f(\overrightarrow{x})=M\overrightarrow{x}$

Umgekehrt legt jede Matrix${}^{n\times m}$ eine lineare Abbildung fest.

Matrix

Eine Matrix ist also eine doppelt indizierte Familie. Formal ist dies eine Funktion

$A:\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}\to K,(i,j)\mapsto a_{ij},$

die jedem Indexpaar $(i,j)$ als Funktionswert das Element $a_{ij}$ zuordnet. Beispielsweise wird dem Indexpaar $(1,2)$ als Funktionswert das Element $a_{12}$ zugeordnet. Der Funktionswert $a_{ij}$ ist also das Element in der $i$-ten Zeile und der $j$-ten Spalte. Die Variablen $m$ und $n$ entsprechen der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix als Funktion ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben.

Die Menge $\mathrm{Abb}(\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\},K)$ aller $m\times n$-Matrizen über der Menge $K$ wird in üblicher mathematischer Notation auch $K^{\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}}$ geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation $K^{m\times n}$ eingebürgert. Manchmal werden die Schreibweisen $K^{m,n},$ $M(m\times n,K)$ oder seltener ${}^m{K}^n$ benutzt.

Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet.

Für die nachfolgenden Beispiele sei

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$

$det(A)=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right|=2\ast 4-1\ast 3=5$

Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $\lambda$ mit einem Faktor $\lambda \in K$, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A^{\prime })=\lambda \ast det(A)$. z.B.: $\lambda =3$ multipliziert mit 1. Spalte: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}6& 1\\ 9& 4\end{array}\right|=6\ast 4-1\ast 9=15$
2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 10\end{array}\right|=2\ast 10-3\ast 5=5$
3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A_r)=-det(A)$. z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right|=1\ast 3-2\ast 4=-5$

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\mathrm{rk}(f)=\dim (\mathrm{im}(f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

Kern

Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche algebraischen Strukturen betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer linearen Abbildung $f:V\to W$ zwischen Vektorräumen $V$ und $W$ aus denjenigen Vektoren in $V$, die auf den Nullvektor in $W$ abgebildet werden; er ist also die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung $f(x)=0$ und wird hier auch Nullraum genannt. In diesem Fall ist $f$ genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in $V$ besteht. Analoge Definitionen gelten für Gruppen- und Ringhomomorphismen. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz.

Definition Ist $f:V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge

$\mathrm{Kern}f:=\{v\in V\mid f(v)=0\in W\}$

der Kern von $f$. Er ist ein Untervektorraum von $V$.

Lösung von Baccus

(Zusammenfassung aus der Diskussion im UE-Forum)

Zu zeigen ist:

• Additivität:

$A\left(\begin{array}{c}3(x_1+y_1)+5(x_2+y_2)-(x_3+y_3)\\ -3(x_2+y_2)\end{array}\right)$=

$A\left(\begin{array}{c}3x_1+5x_2-x_3+3y_1+5y_2-y_3\\ -3x_2-3y_2\end{array}\right)$=

$A\left(\begin{array}{c}3x_1+5x_2-x_3\\ -3x_2\end{array}\right)+A\left(\begin{array}{c}3y_1+5y_2-y_3\\ -3y_2\end{array}\right)$

• Homogenität:

$A\left(\begin{array}{c}\lambda 3x_1+\lambda 5x_2-\lambda x_3\\ -\lambda 3x_2\end{array}\right)$= $A\left(\begin{array}{c}\lambda (3x_1+5x_2-x_3)\\ \lambda (-3x_2)\end{array}\right)$= $\lambda A\left(\begin{array}{c}3x_1+5x_2-x_3\\ -3x_2\end{array}\right)$

(Danke Infamous, camus, navyseal!)

Baccus 02:21, 18. Jan 2007 (CET)

Hilfreiches von Har203

Lineare Abbildung

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,⊞,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

$f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V:f(\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})⊞f(\overrightarrow{y})$
2. $\mathrm{\forall }\lambda \in K:f(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in V:f(\overrightarrow{x})=M\overrightarrow{x}$

Umgekehrt legt jede $Matri{x}^{n\times m}$ eine lineare Abbildung fest.

• Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\mathrm{rg}(f)=\dim (\mathrm{im}(f))$, also dem Bild der Abbildung $f$.

• Der Defekt einer Abbildung $f$ ist die Dimension vom Kern $\mathrm{def}(f)=\dim (\ker (f))$.

• Der Rangsatz bzw. die Dimensionsformel besagt, dass die Dimension von $V$ gleich der Summe der Dimensionen des Bildes und des Kerns ist:

$\dim (V)=\dim (\mathrm{im}(f))+\dim (\ker (f))=\mathrm{rg}(f)+\dim (\ker (f))=\mathrm{rg}(f)+\mathrm{def}(f)$

Lösungsvorschlag von Har203

Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung $A$ von ${ℝ}^3$ in ${ℝ}^2$ eine lineare Abbildung ist.

$A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3x_1+5x_2-x_3}{-3x_2})$

• Die kurze Antwort ist: für diese Abbildung liegt eine Abbildungsmatrix vor. Jede Matrix entspricht einer linearen Abbildung und umgekehrt kann jede lineare Abbildung durch eine Matrix beschrieben werden. D.h. es handelt sich auf jeden Fall um eine lineare Abbildung.
• Wir schauen uns noch die Abbildungsmatrix selbst an:

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 5& -1\\ 0& -3& 0\end{array}\right)\begin{array}{c}\cdot 1/3\\ \cdot (-1/3)\end{array}\to \left(\begin{array}{ccc}1& 5/3& -1/3\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\begin{array}{c}(-5/3)\cdot Z2\\ \end{array}\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1/3\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

D.h. die Matrix $A$ hat den Rang $\mathrm{rg}(A)=2$, also zwei linear unabhängige Zeilen. Damit ist der Kern der Matrix $\dim (\ker (A))=0$, also nur der Nullvektor von $V:\overrightarrow{0_V}$ wird auf den Nullvektor von $W:\overrightarrow{0_W}$ abgebildet. D.h. $\dim (\mathrm{im}(f(R^3))=2$. Die Abbildung ist surjektiv auf $R^2$, aber natürlich nicht injektiv.

Anmerkung: Alleine wegen der Dimensionsreduktion kann $f(R^3)$ nicht injektiv sein.

Seien $<V,+,K>$ und $<W,+,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

Abgeschlossenheit

Da der Bildvektorraum den ganzen ${ℝ}^2=W$ umfasst, ist die Abbildung auf $W$ abgeschlossen.

Additive Verträglichkeit

Für die additive Verträglichkeit muss gelten:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V:f(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})+f(\overrightarrow{y})$

$f((x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3))=f\left((x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\cdot (x_1+y_1)+5\cdot (x_2+y_2)-(x_3+y_3)}{(-3)\cdot (x_2+y_2)})$ $f\left((x_1,x_2,x_3)\right)+f\left((y_1,y_2,y_3)\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\cdot x_1+5\cdot x_2-x_3}{(-3)\cdot x_2})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\cdot y_1+5\cdot y_2-y_3}{(-3)\cdot y_2})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\cdot (x_1+y_1)+5\cdot (x_2+y_2)-(x_3+y_3)}{(-3)\cdot (x_2+y_2)})$

$3\cdot (x_1+y_1)+5\cdot (x_2+y_2)-(x_3+y_3)=3\cdot (x_1+y_1)+5\cdot (x_2+y_2)-(x_3+y_3)\surd$

$(-3)\cdot x_2=(-3)\cdot x_2\surd$

$⟹$ Die additive Verträglichkeit ist für diese Matrix $A$ (Abbildung $f$) erfüllt.

Multiplikative Verträglichkeit

Seien $\lambda \in ℝ$ und $\overrightarrow{x}\in {ℝ}^3$, dann muss gelten$:f(\lambda \cdot \overrightarrow{x})=\lambda \cdot f(\overrightarrow{x})$.

$\begin{array}{cc}f(\lambda \cdot \overrightarrow{x})& =f\left((\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot x_2,\lambda \cdot x_3)\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3\cdot (\lambda \cdot x_1)+5\cdot (\lambda \cdot x_2)-(\lambda \cdot x_3)}{(-3)\cdot (\lambda \cdot x_2)})=\\ & =\lambda \cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{3\cdot x_1+5\cdot x_2-x_3}{(-3)\cdot x_2})=\lambda \cdot f\left((x_1,x_2,x_3)\right)=\lambda \cdot f(\overrightarrow{x})\surd \end{array}$

D.h. beide Verträglichkeiten sind erfüllt und $f$ bzw. $A$ ist eine lineare Abbildung. $◼$

Beispiele der Abbildung

Anmerkung: Die Bilder der ersten drei (kanonischen) Vektoren sind natürlich genau die drei Spalten der Matrix $A$.

$\begin{array}{ccccccccccccccccc}& f(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right))& \to & (\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})& & f(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right))& \to & (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{-3})& & f(\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right))& \to & (\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{0})& & f(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right))& \to & (\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{-3})& \\ & f(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right))& \to & (\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{-3})& & f(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right))& \to & (\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{-3})& & f(\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right))& \to & (\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{-6})& & f(\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right))& \to & (\genfrac{}{}{0ex}{}{-7}{3})& \end{array}$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Dimension
• Lineare Abbildung
• Homomorphismus
• Matrix

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