TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 509

Sei $V=\{f|f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ der Vektorraum aller rellwertigen Funktionen. Untersuchen Sie, ob $f$ und $g$ mit $f(x)=sin(x)$ und $g(x)=cos(x)$ linear unabhängig sind.

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Lösungsvorschlag von Ryus

Zwei Elemente v1, v2 eines Vektorraums sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt (Satz 3.12.):

$\lambda _{1}*\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}*\mathbf {v} _{2}=\mathbf {0} \implies \lambda _{1}=\lambda _{2}=0$

Der Nullvektor ist also nur durch eine triviale Linearkombination darstellbar.

Um dies in diesem Beispiel zu prüfen, ist nun erstmal zu überlegen, was der Nullvektor in unserem Vektorraum ist. Der Nullvektor dient als neutrales Element der Vektoraddition. Es gilt also für alle $h(x)\in V$: $h(x)+\mathbf {0} =h(x)$. Die Addition funktioniert dabei so, dass einfach die Formeln der Funktionen addiert werden. (z.B. $(x^{2}+5)+(2x^{2}+x)=(3x^{2}+x+5)$). Dies trifft nur auf die Funktion $\mathbf {0} (x)=0$ zu. Damit ist diese unser Nullelement.

Nun ist die Frage, ob wir irgendwelche Koeffizienten finden, so dass gilt:

$\lambda _{1}*sin(x)+\lambda _{2}*cos(x)=0$

Dazu betrachte man mal eine Sinus- und Cosinus-Kurve:

Durch multiplizieren mit einem Skalar erhöht sich die Amplitude der Kurve und sie wird höher oder niedriger. Damit die beiden Funktionen linear abhängig sind, müssten wir zwei Skalare finden, mit denen wir sie multiplizieren können, so dass ihre Summe die 0-Funktion ergibt. Dies kann jedoch nur der Fall sein, wenn die beiden neuen Kurven gespiegelt verlaufen ($f(x)=-g(x)\implies f(x)+g(x)=0$) oder der 0-Funktion selber entsprechen. Da wir durch Multiplikation mit einem Skalar aber nur die Amplitude verändern können, und nicht etwa die Phase angleichen können (was nötig wäre, damit sie gespiegelt verlaufen), ist die einzige Möglichkeit, die 0-Funktion zu erzeugen, indem wir als Koeffizienten 0 wählen.

Falls das noch nicht ganz klar war, empfehle ich noch, auf den ersten Punkt im Sinus zu achten: (0,0). Durch Multiplikation mit einem Skalar ist dieser sicher nicht änderbar. Damit die Summe von sin+cos an dieser Stelle aber 0 ergibt, muss auch der Cosinus, der eigentlich an dieser Stelle 1 ist, an dieser Stelle 0 werden, und das geht nur, in dem ich ihn mit 0 multipliziere.

Somit gibt es also keine nichttriviale Linearkombination von $sin(x)$ und $cos(x)$ die den 0-Vektor darstellt. Somit sind die beiden Funktionen linear unabhängig.

Hilfreiches von Har203

Lineare Abhängigkeit

Eine Menge $M$ an Vektoren $\lbrace {\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\ldots ,{\vec {x_{n}}}\rbrace$ heißt linear abhängig, wenn gilt:

$\exists \,{\vec {l}}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\right)\neq {\vec {0_{n}}},\,\lambda _{i}\in \mathbb {K}$ mit $\,\lambda _{1}\cdot {\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}\cdot {\vec {x_{n}}}={\vec {0}}$.

Es existiert eine Linearkombination aus der Menge $M$, die den Nullvektor ${\vec {0_{n}}}$ ergibt, wobei nicht alle $\lambda _{i}=0$ sind - eine oder mehrere sogenannte nicht triviale Lösungen existieren.

Lineare Abhängigkeit Funktion

Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Die beiden Funktionen $\mathrm {e} ^{t}$ und $\mathrm {e} ^{2t}$ in $V$ sind linear unabhängig.

$[1]$ Ekzerpt aus dem Originalartikel Lineare Unabhängigkeit: Funktionen als Vektoren

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $V=\{f\mid f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \}$ der Vektorraum aller reellwertigen Funktionen.

Untersuchen Sie, ob $f$ und $g$ mit $f(x)=\sin(x)$ und $g(x)=\cos(x)$ linear unabhängig sind.

Für eine lineare Unabhängigkeit der beiden vorgegebenen reellwertigen Funktionen darf die folgende Gleichung nur die triviale Lösung ($\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$) haben:

$\lambda _{1}\cdot f(x)+\lambda _{2}\cdot g(x)=0,\;\lambda _{1},\,\lambda _{2}\in \mathbb {R} ,\,\forall \,x\in \mathbb {R} \implies \lambda _{1}\cdot \sin(x)+\lambda _{2}\cdot \cos(x)=0$.

Ich werde bei der ersten Methode nur Werte in die beiden Funktionen einsetzen und beim zweiten ein "minimales" lineares Gleichungssystem aufstellen. Beide Methoden sind natürlich gleichwertig:

Einsetzen von Werten

Wir können gleich Werte in die Gleichung einzusetzen, da diese Gleichung für alle $\,x\in \mathbb {R}$ gelten muss. Wir werden die Werte $x\in \{0,\,-\pi /2\}$ einsetzen:

${\begin{alignedat}{1}&(x=0)\,\colon \,&\lambda _{1}\cdot \sin(x)+\lambda _{2}\cdot \cos(x)=0&\implies \lambda _{1}\cdot 0\,&\,=-\lambda _{2}\cdot 1\,\,&\implies \lambda _{1}\in \mathbb {R} \quad &\land \quad {\color {green}\lambda _{2}=0}\\&(x=-\pi /2)\,\colon \,&\lambda _{1}\cdot \sin(x)+\lambda _{2}\cdot \cos(x)=0&\implies \lambda _{1}\cdot (-1)\,&\,=-\lambda _{2}\cdot 0\,&\implies {\color {green}\lambda _{1}=0}\quad &\land \quad \lambda _{2}\in \mathbb {R} \\\end{alignedat}}$

Nach dem Einsetzen der Werte in der oberen Gleichung erhalten wir für die beiden Konstanten $\lambda _{1}$ und $\lambda _{2}$ nur die triviale Lösung mit:

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$:

$\implies$ D.h. die beiden Funktionen sind linear unabhängig. $\qquad \qquad \blacksquare$

Lineares Gleichungssystem

Wir stellen das lineare Gleichungssystem für die $(2\times 2)$-Matrix A auf und setzen für $x$ die Werte $x\in \{0,\,\pi /4\}$ ein$\colon$

${\begin{alignedat}{1}A\cdot \left({\begin{array}{c}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{array}}\right)={\vec {0_{V}}}=\left({\begin{array}{l}\sin(0)&\cos(0)\\\sin(\pi /4)&\cos(\pi /4)\end{array}}\right)\implies A=\left({\begin{array}{c}0&1\\1&0\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Das entspricht bereits unserer Darstellung einer Matrix mit zwei linear unabhängigen Vektoren. D.h. die obere allgemeine Gleichung hat nur die triviale Lösung mit $\lambda _{1}=\lambda _{2}=0$. $\qquad \qquad \blacksquare$

$\implies$ Dass diese beiden Funktionen $\sin(x)$ und $\cos(x)$ linear unabhängig sind.

Links

Wikipedia:

• Matrix
• Lineare Unabhängigkeit
• Matrizenmultiplikation

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