TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 533

Sei $U$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $B$ über $\mathbb {R}$ mit ${\text{det }}B=\pm 1$. Man zeige, dass $U$ Normalteiler von der Gruppe $\langle G,\cdot \rangle$ aller regulären $n\times n$ Matrizen A über $\mathbb {R}$ ist (Gruppe aus Bsp. 522) .

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\leq G$ heißt Normalteiler, wenn stets die Äquivalenz zwischen der LNK (Linksnebenklasse, $a\circ N$) und der RNK (Rechtsnebenklasse, $N\circ a$) gilt, d.h.:

$\forall a\in G:a\circ N=N\circ a$

Die Menge der Nebenklassen $\{a\circ N\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Lösung von Gittenburg

U ist Teilmenge von G

G ist die Menge aller regulären Matrizen, das heißt:

$\forall A\in G:{\text{det }}A\neq 0$

Also ist U eine Teilmenge weil bei den Matrizen aus U die Determinante $\pm 1$ ist.

U ist nicht leer

U beinhaltet beispielsweise die Einheitsmatrix.

U ist abgeschlossen

$\forall A,B\in U:A\cdot B\in U$

${\text{det }}(A\cdot B)={\text{det }}A\cdot {\text{det }}B$

Schlussfolgerung

Die restlichen Gruppeneigenschaften werden von der kommutativen Gruppe G vererbt.

Weil die Multiplikation in $\mathbb {R}$ kommutativ ist, sind die Links- und Rechtsnebenklassen gleich, U ist also ein Normalteiler von G.

Anmerkung von Har203: Diese Aussage ist leider falsch, da wir hier nicht mit reellen Elementen arbeiten, sondern mit $n\times n$-Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.

Hilfreiches von Har203

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle G,\circ \right\rangle$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ \colon \,G\times G\to {G},\,(a,b)\mapsto {a}\circ b\,\in G\,,$

die „abgeschlossen“ ist (diese wichtige Voraussetzung zu prüfen wird oft bei algebraischen Strukturen übersehen)

$a,b\in G\implies \mathbf {a\circ b\in G}$

und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\forall \,a,b,c\,\in G$ gilt$\colon \;(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;a\circ e=e\circ a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existent ein inverses Element
   • $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-1}\in G$ mit$\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Untergruppen

Eine Untergruppe $(U,\circ )$ einer Gruppe $(G,\circ )$ ist eine Teilmenge $U$ von $G$, die bezüglich der Verknüpfung $\circ$ selbst wieder eine Gruppe bildet. Manchmal wird die Kurzschreibweise $U\leq G$ verwendet, zu lesen als $U$ ist Untergruppe von $G$.

Nebenklassen

Sei $\left\langle G,\circ \right\rangle$ eine Gruppe, $U$ eine Untergruppe von $G$ und $a\in G$. Dann heißt

${\begin{alignedat}{1}&a\circ U=&\{\,a\circ u\,&\vert \,u\in U\,\}&\quad &{\text{Linksnebenklasse}}&{\text{ von }}&U&{\text{ in }}G&\\&U\circ a=&\{\,u\circ a\,&\vert \,u\in U\,\}&\quad &{\text{Rechtsnebenklasse}}&{\text{ von }}&U&{\text{ in }}G&\end{alignedat}}$

Normalteiler

Eine Untergruppe $N$ einer Gruppe $G$ heißt Normalteiler, wenn die Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen. Man schreibt dann kurz $N\trianglelefteq G$.

Matrizenmultiplikation

Mit dem Determinantenproduktsatz gilt für die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen über einem kommutativen Ring:

$\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)=\det(B)\cdot \det(A)=\det(B\cdot A)$

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $G$ die Menge aller regulären $n\times n$-Matrizen $A$ über $\mathbb {R}$. Man zeige, dass $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ eine Gruppe bildet.

• Das haben wir bereits im Bsp. 532 gezeigt.

Sei $U$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $B$ über $\mathbb {R}$ mit $\det(\,B=\pm 1\,)$. Man zeige, dass $U$ Normalteiler von $G$ (aus Bsp. 532) ist.

Wir zeigen zuerst, dass $U$ eine Untergruppe von $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ bildet.

Abgeschlossenheit

Die Multiplikation zweier $n\times n$-Matrizen über $\mathbb {R}$ bildet natürlich wieder eine $n\times n$-Matrix über $\mathbb {R}$.

Es seien zwei Elemente $A,\,B\in U$ mit der oben angegebenen Voraussetzung $a=det(\,A\,)=1$ und $b=\det(\,B\,)=1$. Für die Determinante gilt dann von $(A\cdot B)\colon \,\det(\,A\cdot B\,)=det(\,A\,)\cdot det(\,B\,)=1$ (nach dem Determinantenmultiplikationssatz). Somit ist $(\,A\cdot B\,)$ wieder $\in U$ und $U$ ist abgeschlossen.$\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Assoziativität

Die Assoziativität der Matrizenmultiplikation in der Untergruppe wird natürlich vererbt. $\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Neutrale Element

Die Einheitsmatrix $E_{n}$ ist eine $n\times n$-Matrix über $\mathbb {R}$ mit $\det(\,E_{n}\,)=1$. D.h. es gilt auch $E_{n}\in U$. $\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Inverse Element

Die Inverse Matrix der quadratischen $n\times n$-Matrix $D$ existiert genau dann, wenn die Determinante $\neq 0$ ist. Diese Voraussetzung ist mit der Einschränkung $d=\det(\,D\,)=1$ erfüllt. Daraus folgt, dass die Determinante der inversen Matrix $\det(\,D^{-1}\,)={\frac {1}{d}}=1$ ist und somit auch $D^{-1}\in U$. $\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

$\implies \mathbf {U}$ ist eine Untergruppe von G. $\quad \quad \color {green}\surd \color {black}$

Nebenklassen

Es gilt $\left\langle G,\cdot \right\rangle$ ist eine Gruppe mit Elementen $X\in G$ bestehend aus $n\times n$-Matrizen über $\mathbb {R}$ mit $\det(\,X\,)\in \mathbb {R} \setminus {\{0}\}$ und $U$ ist eine Untergruppe mit Determinanten $\det(\,X\,)=\pm 1$ für $X\in U$. Man zeige, dass $U$ Normalteiler von $G$ ist.

Sei $A\in G$ beliebig und $C\in U$ ebenfalls beliebig. Wir betrachten nun Elemente in der Form $A\cdot C\cdot A^{-1}$. Dann gilt:

$\det(A\cdot C\cdot A^{-1})=\det(A)\cdot \det(C)\cdot \det(A^{-1})=\det(A)\cdot \pm 1\cdot {\frac {1}{\det(A)}}=\pm 1\;\implies$

$\implies A\cdot C\cdot A^{-1}\in U\colon \,\forall \,A\in G$ und $\forall \,C\in U\implies A\cdot U\cdot A^{-1}\subseteq U$.

Umgekehrt werden wir zeigen, dass ein beliebiges $D\in U$ die Form $A\cdot B\cdot A^{-1}$ hat. Dafür konstruieren wir uns zwei Elemente $B$ und $D,\;$ mit $B,\,D\in U$. Wir setzen $B\in U$ auf die vertauschte Form $B=A^{-1}\cdot D\cdot A,\,$ mit $A\in G$ beliebig. Um zu zeigen, dass $B$ in $U$ liegt, bestimmen wir wieder die Determinanten:

$\det(B)=\det(A^{-1})\cdot \det(D)\cdot \det(A)=\pm {\frac {1}{\det(A)}}\cdot 1\cdot \det(A)=\pm 1\implies B\in U$

Wir setzen nun $B$ in die Anfangsform ein$\colon \,A\cdot B\cdot A^{-1}$ und erhalten

$A\cdot B\cdot A^{-1}=A\cdot (A^{-1}\cdot D\cdot A)\cdot A^{-1}=E_{n}\cdot D\cdot E_{n}=D$. D.h. $D$ hat die Form $A\cdot D\cdot A^{-1}$.

Damit haben wir gezeigt:

$D\in U\implies D\in A\cdot U\cdot A^{-1}\implies U\subseteq A\cdot U\cdot A^{-1}$.

Aus den beiden Ergebnissen können wir schließen:

$A\cdot U\cdot A^{-1}\subseteq U$ und $U\subseteq A\cdot U\cdot A^{-1}\implies A\cdot U\cdot A^{-1}=U\implies A\cdot U\cdot A^{-1}\cdot A=U\cdot A\implies A\cdot U=U\cdot A$.

Anmerkung: Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Es gilt im Allgemeinen nicht $A\cdot C=C\cdot A$, aber es gilt, dass die Nebenklassen als gesamte Menge betrachtet übereinstimmen, also $A\cdot U=U\cdot A,\,\forall A\in G$ und es gilt

• entweder $(A\cdot U)=(B\cdot U)\,$ mit $\,A,\,B\in G$
• oder $(A\cdot U)\cap (B\cdot U)=\emptyset$.

Als Beispiel:

$C=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{array}}\right),\,A=\left({\begin{array}{ccc}2&0&1\\1&2&1\\0&1&1\end{array}}\right)\implies C\cdot A=\left({\begin{array}{ccc}4&7&6\\1&4&3\\0&1&1\end{array}}\right)$, aber $A\cdot C=\left({\begin{array}{ccc}2&4&7\\1&4&8\\0&1&3\end{array}}\right)$.

Für die Determinanten gilt jedoch:

$\det(\,C\,)=1,\,\det(\,A\,)=3\,$ für die beiden Bilder gilt dann$\colon \,\det(\,A\cdot C\,)=3\cdot 1=3$ und $\det(\,C\cdot A\,)=1\cdot 3=3$. D.h. $A\cdot C\neq C\cdot A$, aber $A\cdot C$ und $C\cdot A\in (U\cdot A)$ und auch $\in (A\cdot U)$.

$\qquad \qquad \blacksquare$