TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 22

Man untersuche die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle $n\geq 0$.

$a_{0}=4,a_{n+1}={\sqrt {6a_{n}-9}}$ für alle $n\geq 0$.

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Hilfreiches

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag

Monotonie

Es wird gezeigt, dass die Folge monoton fallend ist.

I.A.: $4>{\sqrt {6\cdot 4-9}}\Rightarrow 16>15$

I.S.: $a_{n}\geq a_{n+1}\Rightarrow a_{n+1}\geq a_{n+2}$

${\begin{aligned}a_{n+1}&>a_{n+2}\\{\sqrt {6a_{n}-9}}&>{\sqrt {6{\sqrt {6a_{n}-9}}-9}}\\6a_{n}-9&>6{\sqrt {6a_{n}-9}}-9\\a_{n}&>{\sqrt {6a_{n}-9}}\\a_{n}&>a_{n+1}\end{aligned}}$

Q.E.D.

Beschränktheit

Weil die Funktion monoton fallend ist, ist sie sicherlich durch $a_{0}=4$ nach oben beschränkt. Vermutung für die untere Schranke: ${\sqrt {6\cdot 3-9}}=3\Rightarrow 3$ (geht immer so weiter).

Voraussetzung: $3<a_{n}$
Behauptung: $3<a_{n+1}$
Schritt:

${\begin{aligned}3&<a_{n+1}\\3&<{\sqrt {6a_{n}-9}}\\9&<6a_{n}-9\\18&<6a_{n}\\3&<a_{n}\end{aligned}}$

Grenzwert

Sei der gesuchte Grenzwert $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=a$ genannt. Eine Rechenregel besagt $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{p}]{a_{n}}}={\sqrt[{p}]{\lim _{x\to \infty }a_{n}}}$ Daher ist:

${\begin{aligned}&\lim \limits _{n\to \infty }a_{n+1}\\=&\lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt {6a_{n}-9}}\\=&{\sqrt {\lim \limits _{n\to \infty }6a_{n}-9}}\\=&{\sqrt {\lim \limits _{n\to \infty }6a_{n}-\lim \limits _{n\to \infty }9}}\\=&{\sqrt {6a-9}}\end{aligned}}$

Weiterhin gilt ab einem ausreichend großen $n$ $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n+1}=\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}$. Daher kann argumentiert werden

${\begin{aligned}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n+1}&=\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}\\\lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt {6a_{n}-9}}&=\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}\\{\sqrt {6a-9}}&=a\\6a-9&=a^{2}\\a^{2}-6a+9&=0\end{aligned}}$

$a_{1,2}=3$

Wohldefiniertheit

Da $3<a_{n}\leq 4$, ist der Radikand $6a_{n}-9$ immer positiv. Somit wird tatsächlich jedem $a_{n}$ eine reelle Zahl zugeordnet und die Folge ist wohldefiniert.

Die Probe mit Matlab ergibt für $a_{100}\approx 3.06$

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 22.

Beschränktheit

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt nach ${\begin{Bmatrix}{\text{oben}}\\{\text{unten}}\end{Bmatrix}}$ beschränkt $\Longleftrightarrow \exists a\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} :{\begin{cases}x_{n}\leq a&{\text{obere Schranke}}\\x_{n}\geq a&{\text{untere Schranke}}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt beschränkt, wenn sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenz einer Folge

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$!) gilt:

   • $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
   • $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
3. $\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 21:37, 7. Mär. 2026 (CET)

Man untersuche die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle $n\geq 0$.

$a_{0}=4,a_{n+1}={\sqrt {6a_{n}-9}}$ für alle $n\geq 0$.

Gesucht mittels Vollständiger Induktion: Monotonie, Beschränktheit, Grenzwert (wenn möglich), warum wohldefiniert:

Wir schauen uns die ersten Werte der rekursiv vorgegebenen Folge $\langle a_{n}\rangle$ an:

${\begin{array}{cc|c|cc|c|cc|c|cc}n=&a_{n}&\,&n=&a_{n}&\,&n=&a_{n}&\,&n=&a_{n}\\0&4&\,&1&3,872983346&\,&2&3,773314203&\,&3&3,693221523\\4&3,627578964&\,&5&3,57288032&\,&6&3,526653077&\,&7&3,487107463\\8&3,452918299&\,&9&3,423084836&\,&10&3,396838091&\,&11&3,373578003\\12&3,352829853&\,&13&3,334213418&\,&14&3,317420761&\,&15&3,302199959\\50&3,111376266&\,&100&3,058125183&\,&200&3,029621768&\,&500&3,01196057\end{array}}$

Monotonie

• Induktionsanfang :

$a_{0}=4$ und $a_{1}={\sqrt {6\cdot a_{0}-9}}={\sqrt {15}}<a_{0}$

• Induktionsvoraussetzung:

Es gilt für ein festes $n\geq 0\colon \;a_{n}>a_{n+1}\implies a_{n+1}>a_{n+2}$.

Anmerkung: Der Wurzelausdruck kann nicht negativ werden, daher gibt es beim Quadrieren mit $\leq ,\,\geq$ keine Probleme.

${\begin{alignedat}{1}&a_{n+1}={\sqrt {6\cdot a_{n}-9}}>a_{n+2}={\sqrt {6\cdot (\;{\sqrt {6\cdot a_{n}-9}}\;)-9}}\implies \\&\implies 6\cdot a_{n}-9>6\cdot (\;{\sqrt {6\cdot a_{n}-9}}\;)-9\implies a_{n}>{\sqrt {6\cdot a_{n}-9}}\implies a_{n}>a_{n+1}.\end{alignedat}}$

$\implies$ Das heißt die Folge ist streng monoton fallend.

Beschränktheit

Der Anfangswert $a_{0}=4$ und die Folge ist streng monoton fallend. D.h., dass die Folge durch $a_{0}$ nach oben beschränkt ist$\colon \,\forall \,a_{n}\colon \,a_{n}\leq 4$.

Wir berechnen uns einmal den Fixpunkt:

$a={\sqrt {6\cdot a-9}}\implies a^{2}=6\cdot a-9\implies a^{2}-6\cdot a+9=(a-3)^{2}=0$.

D.h. wir vermuten den Grenzwert bei $3$. D.h. Wir müssen noch zeigen, dass diese Stelle $3$ die untere Schranke ist.

Wir werden wieder eine vollständige Induktion durchführen:

• Induktionsanfang: $a_{0}>3$

• Induktionsvoraussetzung:

Es gilt für ein festes $n\geq 0\colon \;a_{n}>3\implies a_{n+1}>3$.

${\begin{alignedat}{1}3<a_{n+1}={\sqrt {6\cdot a_{n}-9}}\quad \vert .^{2}\implies 9<6\cdot a_{n}-9\implies 18<6\cdot a_{n}\implies 3<a_{n}\end{alignedat}}$

$\implies$ Das heißt die Folge ist nach unten beschränkt. Wir wissen aber noch nicht, ob $3$ die untere Schranke ist

Wohldefiniertheit

Da für alle Folgenglieder gilt $a_{n}>3$, ist der Ausdruck unter der Wurzel $6\cdot a_{n}-9$ nach unten beschränkt mit dem Wert $9$. D.h. die Folge ist in $\mathbb {R}$ wohldefiniert.

Grenzwert

Die Folge ist streng monoton fallend und nach unten beschränkt. Dass heißt die Folge konvergiert. Der Grenzwert $(a=\lim _{n\to \infty }a_{n})$ erfüllt die Fixpunktgleichung:

$a={\sqrt {6\cdot a-9}}\implies a^{2}-6\cdot a+9=(a-3)^{2}=0\implies a=3$.

$\implies$ Der Grenzwert dieser Folge ist $3$. $\quad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Monotone Zahlenfolge
• Häufungspunkt
• Grenzwert
• Infimum und Supremum
• Vollständige Induktion
• Wohldefiniertheit

Weiterführende Links: Wohldefiniertheit
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=175602 Grenzwert rekursiver Folgen
http://www.matheboard.de/archive/2315/thread.html
http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!185:Rekursive_Folgen
Rechenregel für Wurzel (9. Regel)
http://www.mathebibel.de/grenzwerte-rechenregeln
Beweis für Wurzelregel:
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwerts%C3%A4tze:_Grenzwert_von_Folgen_berechnen#Die_Wurzelregel
Weiterführender Beweis für Wurzelmonotonieungleichung:
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Rechenregeln_der_Wurzel#Monotonieungleichung
Induktion
https://www.youtube.com/watch?v=40UQ5HT0mVo
https://www.mathelounge.de/166431/rekursive-folge-monotonie-%26-grenzwert

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