TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS18/Beispiel 191

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

(a) $\underset{x\to 1}{lim}\frac{\ln x}{\sqrt{x^2-1}}$

(b) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^4}{e^{4x}}$

(c) $\underset{x\to 1/2}{lim}(1-2x)\tan \pi x$

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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_0$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_0)=g(x_0)=0$ und
• existiert $\underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\right)$,

so gilt: $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \mathrm{\infty }$, oder auch falls $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$.

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\ln x}{\sqrt{x^2-1}}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2}=0$

Beispiel (b)

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^4}{e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4\cdot 3x^3}{4\cdot e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3\cdot 4\cdot 3x^2}{4\cdot 4\cdot e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot 3x}{4\cdot 4\cdot 4\cdot e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 3}{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot e^{4x}}=0$

Beispiel (c)

Erst umformen: $\underset{x\to 1/2}{lim}(1-2x)\cdot \tan \pi x=\frac{(1-2x)\cdot \sin \pi x}{\cos \pi x}$
Dann ableiten:
$\underset{x\to 1/2}{lim}\frac{-2\cdot \sin \pi x+(1-2x)\cdot \pi \cdot \cos \pi x}{-\pi \cdot \sin \pi x}=\frac{2}{\pi }$

Links

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