TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 18

Sei $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$. Zeigen Sie, dass $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|a_n\right|=|a|$.

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Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 18.

Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung

Für reelle Zahlen gilt: $|a+b|\le |a|+|b|$

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 15:51, 7. Mär. 2026 (CET)

Sei $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$. Zeigen Sie, dass $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|a_n\right|=|a|$.

Dreiecksungleichungen

• Die Dreiecksungleichung für reelle Zahlen besagt, dass für zwei beliebige Zahlen $x$ und $y$ gilt:
  • $|x+y|\le \left|x\right|+\left|y\right|$.
  • $||x|-|y||\le |x-y|\le |x|+|y|$ für alle $x,y\in ℝ.$
  • $||x|-|y||\le |x+y|\le |x|+|y|$ für alle $x,y\in ℝ.$

• Grenzwert einer reellen Zahlenfolge:

Die Zahl $a\in ℝ$ heißt Grenzwert der Folge $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$, falls zu jedem $\epsilon >0$ eine natürliche Zahl $N(\epsilon )$ existiert, sodass stets $|a_n-a|<\epsilon$ gilt, falls $n\ge N(\epsilon )$.

Da der Grenzwert für die Folge $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ existiert, existiert für jedes $\epsilon >0$ ein $N(\epsilon )\in \mathbb{N}$, sodass für alle $n\ge N(\epsilon )$ gilt$:|a_n-a|<\epsilon$.

• Wir nehmen genau jenes $\epsilon$ und $N(\epsilon )$ der Folge $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ her. Dann gilt nach der Dreiecksungleichung:

$||a_n|-|a||\le |a_n-a|<\epsilon$. Damit liegen fast alle Folgenglieder $|a_n|$ in der $\epsilon$-Umgebung von $|a|$.

$⟹$ Damit ist der Grenzwert der Folge $⟨|a_n|⟩$ genau der Wert $\left|a\right|$. $◼$

Links

Threads:

• Thread im inf. forum

Wikipedia:

• Folge
• Dreiecksungleichung
• Grenzwert

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