TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 18

Sei $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit $\lim _{n\rightarrow \infty }\,a_{n}=a$. Zeigen Sie, dass $\lim _{n\rightarrow \infty }\left|a_{n}\right|=|a|$.

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Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 18.

Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung

Für reelle Zahlen gilt: $|a+b|\leq |a|+|b|$

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls $\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 15:51, 7. Mär. 2026 (CET)

Sei $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit $\lim _{n\rightarrow \infty }\,a_{n}=a$. Zeigen Sie, dass $\lim _{n\rightarrow \infty }\left|a_{n}\right|=|a|$.

Dreiecksungleichungen

• Die Dreiecksungleichung für reelle Zahlen besagt, dass für zwei beliebige Zahlen $x$ und $y$ gilt:
  • $\left|x+y\right|\leq \left|x\right|+\left|y\right|$.
  • ${\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leq |x-y|\leq |x|+|y|$ für alle $x,\,y\in \mathbb {R} .$
  • ${\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leq |x+y|\leq |x|+|y|$ für alle $x,\,y\in \mathbb {R} .$

• Grenzwert einer reellen Zahlenfolge:

Die Zahl $a\in \mathbb {R}$ heißt Grenzwert der Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$, falls zu jedem $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N(\varepsilon )$ existiert, sodass stets $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ gilt, falls $n\geq N(\varepsilon )$.

Da der Grenzwert für die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ existiert, existiert für jedes $\varepsilon >0$ ein $N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, sodass für alle $n\geq N(\varepsilon )$ gilt$\colon \,\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$.

• Wir nehmen genau jenes $\varepsilon$ und $N(\varepsilon )$ der Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ her. Dann gilt nach der Dreiecksungleichung:

${\Big |}|a_{n}|-|a|{\Big |}\leq \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$. Damit liegen fast alle Folgenglieder $|a_{n}|$ in der $\varepsilon$-Umgebung von $|a|$.

$\implies$ Damit ist der Grenzwert der Folge $\langle |a_{n}|\rangle$ genau der Wert $\left|a\right|$. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Threads:

• Thread im inf. forum

Wikipedia:

• Folge
• Dreiecksungleichung
• Grenzwert

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