TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 13

Sei $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei beschränkte Folgen $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gibt, die $c_n=\frac{a_n}{b_n}$ für alle $n\in \mathbb{N}$ erfüllen.

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Lösung (von Prof. Länger)

$c_n=\frac{\frac{c_n}{|c_n|+1}}{\frac{1}{|c_n|+1}}$

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 13.

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt nach $\left\{\begin{array}{c}\text{oben}\\ \text{unten}\end{array}\right\}$ beschränkt $⟺\mathrm{\exists }a\in ℝ\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:\{\begin{array}{cc}{x}_n\le a& \text{obere Schranke}\\ x_n\ge a& \text{untere Schranke}\end{array}$

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt beschränkt, wenn diese sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt ist.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $ℝ$ (aber z.B. nicht in $\mathbb{Q}$!) gilt:

   • $a_n\nearrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{sup}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
   • $a_n\searrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{inf}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
3. $lim{x}_n=x,lim{y}_n=y⟹\{\begin{array}{c}lim(x_n\pm y_n)=x\pm y\\ lim(x_n\cdot y_n)=x\cdot y\\ lim(\frac{x_n}{y_n})=\frac{x}{y}{y}_n,y\ne 0\end{array}$

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 13:12, 7. Mär. 2026 (CET)

Seien die beiden Folgen $⟨a_n⟩\in ℝ$ und $⟨b_n⟩\in ℝ$

Wir definieren:

$(a_n,b_n)=\{\begin{array}{cccc}& (c_n,1),& \text{ wenn }& c_n\in [-1,1],\\ & (1,\frac{1}{c_n}),& \text{ wenn }& c_n\in (1,+\mathrm{\infty }),\\ & (1,\frac{1}{c_n}),& \text{ wenn }& c_n\in (-\mathrm{\infty },-1)\end{array}$

Es gilt $c_n=\frac{a_n}{b_n}$ und die Folgen sind im Bereich $a_n\in [-1,1],$ und $b_n\in (-1,1]$. Das heißt, dass beide Folgen beschränkt sind.

Folgende Werte können die Folgen $⟨a_n⟩$ bzw. $⟨b_n⟩$ annehmen:

$\begin{array}{cccc}& \text{1.Fall}:& a_n\in [-1,1],& b_n=1,\\ & \text{2.Fall}:& b_n\in (0,1),& a_n=1\\ & \text{3.Fall}:& b_n\in (-1,0),& a_n=1\end{array}$

$◼$

Links

Threads:

• Thread im inf. forum

Wikipedia:

• Folge
• Monotone Zahlenfolge
• Häufungspunkt
• Grenzwert
• Infimum und Supremum
• Vollständige Induktion

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