TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 13

Sei $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei beschränkte Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gibt, die $c_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllen.

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Lösung (von Prof. Länger)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$c_{n}={\frac {\frac {c_{n}}{|c_{n}|+1}}{\frac {1}{|c_{n}|+1}}}$

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 13.

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

$\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt nach ${\begin{Bmatrix}{\text{oben}}\\{\text{unten}}\end{Bmatrix}}$ beschränkt $\Longleftrightarrow \exists \,a\in \mathbb {R} \quad \forall \,n\in \mathbb {N} \colon \,{\begin{cases}x_{n}\leq a&{\text{obere Schranke}}\\x_{n}\geq a&{\text{untere Schranke}}\end{cases}}$

$\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt beschränkt, wenn diese sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt ist.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$ , falls in jeder $\epsilon$ -Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$ (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$ !) gilt:
- $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
- $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
$\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

Induktionsanfang (IA)
Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 13:12, 7. Mär. 2026 (CET)

Seien die beiden Folgen $\langle a_{n}\rangle \in \mathbb {R}$ und $\langle b_{n}\rangle \in \mathbb {R}$

Wir definieren:

$(a_{n},\,b_{n})={\begin{cases}&(c_{n},1),&{\text{ wenn }}&c_{n}\in [-1,1],\\&(1,{\frac {1}{c_{n}}}),&{\text{ wenn }}&c_{n}\in (1,+\infty ),\\&(1,{\frac {1}{c_{n}}}),&{\text{ wenn }}&c_{n}\in (-\infty ,-1)\end{cases}}$

Es gilt $\,c_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ und die Folgen sind im Bereich $a_{n}\in [-1,1],\,$ und $b_{n}\in (-1,1]$ . Das heißt, dass beide Folgen beschränkt sind.