TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS18/Beispiel 191

From VoWi
Jump to navigation Jump to search

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

(a) \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{\sqrt{x^2 - 1}}

(b) \lim_{x \to \infty} \frac{3x^4}{e^{4x}}

(c) \lim_{x \to 1/2} (1 - 2x) \tan {\pi x}

Hilfreiches[edit]

Regel von l'Hospital
Regel von l'Hospital[Bearbeiten, WP, 5.35 Satz]

Sind die Funktionen f und g in einer Umgebung von x_0

  • differenzierbar und
  • gilt f(x_0)=g(x_0)=0 und
  • existiert \lim_{x\to x_0}\left(\frac{f'(x)}{g'(x)}\right),

so gilt: \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. Eine analoge Aussage gilt für x\to\infty, oder auch falls \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty.

Lösungsvorschlag[edit]

Beispiel (a)[edit]

\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{\sqrt{x^2 - 1}} = 
\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}} = 
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x^2} = 0

Beispiel (b)[edit]

\lim_{x \to \infty} \frac{3x^4}{e^{4x}} = 
\lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 3x^3}{4 \cdot e^{4x}} = 
\lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 4 \cdot 3x^2}{4 \cdot 4 \cdot e^{4x}} = 
\lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3x}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot e^{4x}} = 
\lim_{x \to \infty} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot e^{4x}} = 0

Beispiel (c)[edit]

Erst umformen: \lim_{x \to 1/2} (1 - 2x) \cdot \tan {\pi x} = \frac {(1-2x) \cdot \sin{\pi x}} {\cos{\pi x}}
Dann ableiten:
\lim_{x \to 1/2} \frac{-2 \cdot \sin{\pi x} + (1-2x) \cdot \pi \cdot \cos{\pi x}}{-\pi \cdot \sin{\pi x}} = \frac{2}{\pi}

Links[edit]