TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS18/Beispiel 191

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

(a) $\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(b) $\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{4}}{e^{4x}}}$

(c) $\lim _{x\to 1/2}(1-2x)\tan {\pi x}$

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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_{0}$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ und
• existiert $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right)$,

so gilt: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \infty$, oder auch falls $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty$.

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\lim _{x\to 1}{\frac {\frac {1}{x}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\lim _{x\to 1}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x^{2}}}=0$

Beispiel (b)

$\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{4}}{e^{4x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {4\cdot 3x^{3}}{4\cdot e^{4x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3\cdot 4\cdot 3x^{2}}{4\cdot 4\cdot e^{4x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cdot 3\cdot 4\cdot 3x}{4\cdot 4\cdot 4\cdot e^{4x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 3}{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot e^{4x}}}=0$

Beispiel (c)

Erst umformen: $\lim _{x\to 1/2}(1-2x)\cdot \tan {\pi x}={\frac {(1-2x)\cdot \sin {\pi x}}{\cos {\pi x}}}$
Dann ableiten:
$\lim _{x\to 1/2}{\frac {-2\cdot \sin {\pi x}+(1-2x)\cdot \pi \cdot \cos {\pi x}}{-\pi \cdot \sin {\pi x}}}={\frac {2}{\pi }}$

Links

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• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 2 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 1 (ähnliches Beispiel)
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