TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 484

Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4$ vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten $a_i$ aus $\mathbb{Q}$ bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb{Q}$.

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Hilfreiches

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag

für (i) Seien $\overrightarrow{x}=\sum _{n=0}^4{a}_n{x}^n$ und $\overrightarrow{y}=\sum _{n=0}^4{b}_n{x}^n$ zwei Polynome 4. Grades und k ein Skalar aus K. $\lambda (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda (\sum _{n=0}^4{a}_n{x}^n+\sum _{n=0}^4{b}_n{x}^n)=\lambda \sum _{n=0}^4{a}_n{x}^n+\lambda \sum _{n=0}^4{b}_n{x}^n$ somit ist (i) gezeigt

für (ii) wie für (i)

für (iii)?

für (iv) $1\overrightarrow{x}=1\sum _{n=0}^4{a}_n{x}^n=\sum _{n=0}^4{a}_n{x}^{n}1=\sum _{n=0}^4{a}_n{x}^n$

=> ja, die Menge aller Polynome $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4$ vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten $a_i$ aus bildet einen Vektorraum über $\mathbb{Q}$

Fragen

Muss ich da jetzt auch noch die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und Multiplikation zeigen also

Seien $\overrightarrow{x}=\sum _{n=0}^4{a}_n{x}^n$ und $\overrightarrow{y}=\sum _{n=0}^4{b}_n{x}^n$ zwei Polynome 4. Grades.

$x+y=\sum _{n=0}^4{a}_n{x}^n+\sum _{n=0}^4{b}_n{x}^n=\sum _{n=0}^4(a_n+b_n)x^n$ (Umformungen sind wegen Assoziativität, Kommutativität und Distributivgesetz möglich) => daraus sehen wir, dass der Grad von (x+y) niemals größer als 4 bzw. für die Multiplikation Sei $\overrightarrow{x}=\sum _{n=0}^4{a}_n{x}^n$ ein Polynom 4. Grades und k ein Element aus k.

$k\overrightarrow{x}=k\sum _{n=0}^4{a}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{4}k{a}_n{x}^n$ auch da sieht man, dass sich der Grad des Polynoms nicht vergrößert (auch nicht verkleinert, aber das interessiert uns hier nicht) und somit auch die Skalarmultiplikation abgschlossen ist.

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Lineare Unabhängigkeit Vektor

Ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, so heißen die Vektoren ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,\mathrm{...},{\overrightarrow{v}}_n$ aus $V$ linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}$

mit Koeffizienten $a_1,a_2,\dots ,a_n$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_i$ gleich null sind („triviale Linearkombination des Nullvektors“). Formal liest sich diese Bedingung wie folgt:

$a_1{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+\cdots +a_n{\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}⟹a_1=a_2=\dots =a_n=0$.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist $I$ eine beliebige Indexmenge, so heißt eine Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ von Vektoren aus $V$ linear unabhängig, falls jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Die Familie $({\overrightarrow{v}}_i{)}_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ gibt, sowie Koeffizienten $(a_j{)}_{j\in J}$, von denen mindestens einer ungleich null ist, so dass

$\sum _{j\in J}{a}_j{\overrightarrow{v}}_j=\overrightarrow{0}.$

[1] Hauptartikel [Lineare Unabhängigkeit (Definition)]

Basis

Basis

Eine Basis $B=\{\overrightarrow{b_1},\overrightarrow{b_2},\dots ,\overrightarrow{b_n}\}$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraumes mit $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in$ Vektorraum: $\mathrm{\exists }{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$ ($K$ Körper): $\overrightarrow{x}={\lambda }_1\overrightarrow{b_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{b_2}+\cdots +{\lambda }_n\overrightarrow{b_n},$(${\lambda }_i$ eindeutig bestimmt).

Lineare Hülle

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

$v\notin [M\mathrm{\setminus }\{v\}]\mathrm{\forall }v\in M$

Determinante

Determinante Eigenschaften

• Eigenschaften der Determinante

1. $detE=1$ für Einheitsmatrix $E$
2. $det\left(A^{\mathsf{\text{𝖳}}}\right)=det(A)$, wobei $A^{\mathsf{\text{𝖳}}}$ die transponierte Matrix von $A$ ist.
3. $det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{det(A)}.$
4. Für quadratische Matrizen $A$ und $B$ gleicher Größe gilt der Determinantenmultiplikationssatz:

   $det(AB)=det(A)det(B)$.

5. $det(cA)=c^{n}det(A)$ für eine $n\times n$ Matrix $A$ und eine Zahl $c$.
6. Für eine Dreiecksmatrix $A$ gilt $det(A)=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$.
7. Besteht eine Reihe oder Spalte aus Nullen, ist die Determinante 0.
8. Sind zwei Spalten (Zeilen) gleich, ist die Determinante 0.
9. Vertauscht man zwei Spalten (Zeilen), so ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.
10. Sind $v_1,\dots ,v_n$ die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix und $c$ eine Zahl, so gelten:

    a1) $det(v_1+w,v_2,\dots ,v_n)=det(v_1,v_2,\dots ,v_n)+det(w,v_2,\dots ,v_n)$,

    a2) $det(c{v}_1,v_2,\dots ,v_n)=cdet(v_1,v_2,\dots ,v_n)$,

    entsprechend für die anderen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren).

    b) $det(v_1,\dots ,v_n)$ ist das (orientierte) Volumen (Flächeninhalt im Fall n = 2) des von den Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ aufgespannten Polytopes (Parallelogramm).

11. Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile) ändert eine Determinante nicht. Man kann also eine Determinante mit einem abgeschwächten Gauß-Algorithmus zu einer Dreiecksmatrix umformen und Eigenschaft 6 zur Berechnung der Determinante verwenden. Man beachte Eigenschaften 9 und 10.a2).
12. Nur für $3\times 3$-Determinanten gilt die Regel von Sarrus

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 14:08, 22. Feb. 2026 (CET)

Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome $a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3+a_4\cdot x^4$ vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten $a_i$ aus $\mathbb{Q}$ bildet mit der ūblichen Addition und dem ūblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum $⟨V,+,\cdot ⟩$ über $\mathbb{Q}$, kurz $V=\mathbb{Q}[X{]}_{\le 4}$.

Zuerst werden wir zeigen, dass $⟨V,+,\cdot ⟩$ über $\mathbb{Q}$ ein Vektorraum ist.

• Anmerkung: Der Vektorraum $⟨V,+,\cdot ⟩$ über $\mathbb{Q},V=\mathbb{Q}[X{]}_{\le 4}$ ist isomorph zum Vektorraum $⟨{\mathbb{Q}}^4,+,\cdot ⟩$.

$\Phi :\mathbb{Q}[X{]}_{\le 4}\to {\mathbb{Q}}^4$ mit $\Phi (a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3+a_4\cdot x^4)=(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)$.

Der Vektorraum $⟨\mathbb{Q}[X{]}_{\le 4},+,\cdot ⟩$ ist über die Koeffizientenabbildung isomorph zu $⟨{\mathbb{Q}}^4,+,\cdot ⟩$. Da $⟨{\mathbb{Q}}^4,+,\cdot ⟩$ ein Vektorraum ist, folgt daraus unmittelbar, dass auch $⟨\mathbb{Q}[X{]}_{\le 4},+,\cdot ⟩$ über $\mathbb{Q}$ ein Vektorraum ist.

• Anmerkung: Als Basis nehmen wir die Standardbasis für Polynome an$:\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$.

Abelsche Gruppe

• Die Menge $V$ ist nicht leer, da $\overrightarrow{0}=(0,0,0,0,0)\in V\equiv a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3+a_4\cdot x^4$ mit $a_i=0,i\in \{0,\dots ,4\}$.
• Das Assoziativgesetz bezüglich der Addition gilt, da die Vektoraddition komponentenweise in $\mathbb{Q}$ und komponentenweise zu jeder einzelnen unterschiedlichen Potenz in $\mathbb{Q}[X{]}_{\le 4}$ durchgeführt wird und von $\mathbb{Q}$ bzw. $\mathbb{Q}[X{]}_{\le 4}$ vererbt wird.
• Nullelement (= Einselement der Addition): Bezüglich der Addition ist der Nullvektor $\overrightarrow{0}=(0,0,0,0,0)\equiv a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x_3+a_4\cdot x_4$ mit $a_i=0,i\in \{0,\dots ,4\}$ das Nullelement.
• Inverse Element: Für die Addition gilt ebenfalls, dass die Addition komponentenweise in $\mathbb{Q}$ bzw. komponentenweise zu jeder einzelnen unterschiedlichen Potenz in $\mathbb{Q}[X{]}_{\le 4}$durchgeführt wird und das Einselement komponentenweise aus der abelschen Gruppe von $⟨\mathbb{Q},+⟩$ gebildet wird. D.h. zu $\overrightarrow{a}=(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)\equiv (a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3+a_4\cdot x^4),(a_i\in \mathbb{Q},\overrightarrow{a}\in V)$ ist das Inverse Element $\overrightarrow{(-a)}=(-a_0,-a_1,-a_2,-a_3,-a_4)\equiv ((-a_0)+(-a_1)\cdot x+(-a_2)\cdot x^2+(-a_3)\cdot x^3+(-a_4)\cdot x^4),((-a_i)\in \mathbb{Q},\overrightarrow{(-a)}\in V)$.
• Das Kommutativgesetz bezüglich der Addition gilt, da die Vektoraddition komponentenweise in $\mathbb{Q}$ bzw. komponentenweise zu jeder einzelnen unterschiedlichen Potenz in $\mathbb{Q}[X{]}_{\le 4}$ durchgeführt wird und von $\mathbb{Q}$ vererbt wird.

$⟹⟨V,+⟩$ ist eine nicht leere abelsche Gruppe.

Körper

• $𝕂=\mathbb{Q}$ ist mit $⟨\mathbb{Q},+,\cdot ⟩$ ein Körper. Klar, ohne Beweis.

Vektorraum

Seien zwei Vektoren $\overrightarrow{a}=(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4),\overrightarrow{b}=(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4)\in V,a_i,b_i\in \mathbb{Q},i\in \{0,\dots ,4\}$ und $\lambda ,\mu \in 𝕂=\mathbb{Q}$, daraus muss folgen:

• $\lambda \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\lambda \cdot \overrightarrow{b}$

$\begin{array}{cc}& \lambda \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda \cdot ((a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)+(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4))=\lambda \cdot (a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,a_4+b_4)=\\ & =(\lambda \cdot (a_0+b_0),\lambda \cdot (a_1+b_1),\lambda \cdot (a_2+b_2),\lambda \cdot (a_3+b_3),\lambda \cdot (a_4+b_4))=\\ & =(\lambda \cdot a_0+\lambda \cdot b_0,\lambda \cdot a_1+\lambda \cdot b_1,\lambda \cdot a_2+\lambda \cdot b_2,\lambda \cdot a_3+\lambda \cdot b_3,\lambda \cdot a_4+\lambda \cdot b_4)=\\ & =\lambda \cdot (a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,a_4+b_4)=\lambda \cdot (a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)+\lambda \cdot (b_0,b_1,b_2,b_3,b_4)=\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\lambda \cdot \overrightarrow{b}\surd \end{array}$

• $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{a}=\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\mu \cdot a$

$\begin{array}{cc}& (\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{a}=(\lambda +\mu )\cdot (a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)=((\lambda +\mu )\cdot a_0,(\lambda +\mu )\cdot a_1,(\lambda +\mu )\cdot a_2,(\lambda +\mu )\cdot a_3,(\lambda +\mu )\cdot a_4)=\\ & =(\lambda \cdot a_0+\mu \cdot a_0,\lambda \cdot a_1+\mu \cdot a_1,\lambda \cdot a_2+\mu \cdot a_2,\lambda \cdot a_3+\mu \cdot a_3,\lambda \cdot a_4+\mu \cdot a_4)=\\ & =(\lambda \cdot a_0,\lambda \cdot a_1,\lambda \cdot a_2,\lambda \cdot a_3)+(\mu \cdot a_0,\mu \cdot a_1,\mu \cdot a_2,\mu \cdot a_3,\mu \cdot a_4)=\\ & =\lambda \cdot (a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)+\mu \cdot (a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)=\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\mu \cdot \overrightarrow{a}\surd \end{array}$

• $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{a}=\lambda \cdot (\mu \cdot \overrightarrow{a})$

$\begin{array}{cc}& (\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{a}=(\lambda \cdot \mu )\cdot (a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)=((\lambda \cdot \mu )\cdot a_0,(\lambda \cdot \mu )\cdot a_1,(\lambda \cdot \mu )\cdot a_2,(\lambda \cdot \mu )\cdot a_3,(\lambda \cdot \mu )\cdot a_4)=\\ & =(\lambda \cdot (\mu \cdot a_0),\lambda \cdot (\mu \cdot a_1),\lambda \cdot (\mu \cdot a_2),\lambda \cdot (\mu \cdot a_3),\lambda \cdot (\mu \cdot a_4))=\lambda \cdot (\mu \cdot a_0,\mu \cdot a_1,\mu \cdot a_2,\mu \cdot a_3,\mu \cdot a_4)=\\ & =\lambda \cdot (\mu \cdot (a_0,a_1,a_2,a_3,a_4))=\lambda \cdot (\mu \cdot \overrightarrow{a})\surd \end{array}$

• $1\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

$\begin{array}{cc}& 1\cdot \overrightarrow{a}=1\cdot (a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)=(1\cdot a_0,1\cdot a_1,1\cdot a_2,1\cdot a_3,1\cdot a_4)=(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)=\overrightarrow{a}\surd \end{array}$

$⟹⟨V,+,\cdot ⟩$ ist ein Vektorraum über $\mathbb{Q}◼$

Basis

Zusatzaufgabe vom Beispiel [Beispiel 489] übernommen:

Bestimmen Sie eine Basis $\overrightarrow{s_1},\overrightarrow{s_2},\overrightarrow{s_3},\overrightarrow{s_4},\overrightarrow{s_5}$ dieses Vektorraums, die nur Polynome vierten Grades enthält.

Die Dimension vom Vektorraum $\dim (V)=5$. Daher benötigen wir $5$ linear unabhängige Vektoren, die den Raum aufspannen $:V=\mathrm{span}(\overrightarrow{s_1},\overrightarrow{s_2},\overrightarrow{s_3},\overrightarrow{s_4},\overrightarrow{s_5})$.

• Anmerkung: Die Grundidee für meine Wahl der Vektoren war, die Standardbasis mit den kanonischen Vektoren herzunehmen$:(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)$ und durch die Forderung nach Polynome vierten Grades die letzte Koordinate bei allen fünf Vektoren auf $1$ in der Form $(a_0,a_1,a_2,a_3,1)$) zu setzen. Das hat auf Anhieb funktioniert.

$s_1=(1,0,0,0,1)\equiv p_1(x)s_2=(0,1,0,0,1)\equiv p_2(x)s_3=(0,0,1,0,1)\equiv p_3(x)s_4=(0,0,0,1,1)\equiv p_4(x)s_5=(0,0,0,0,1)\equiv p_5(x)$

Die entsprechenden Polynome der Basisvektoren sind dann$:$

$p_1(x)=1+x^4{p}_2(x)=x+x^4{p}_3(x)=x^2+x^4{p}_4(x)=x^3+x^4{p}_5(x)=x^4$

Die Matrix mit den Basisvektoren als Spaltenvektoren lautet$:$

$S=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$

Wir überprüfen die lineare Unabhängigkeit mittels Determinante. Wie wir leicht erkennen ist die obere $4\times 4$-Matrix die Einheitsmatrix $I_4$. Wir können von der untersten Zeile die vier oberen Zeilen subtrahieren ($Z5-(Z1+Z2+Z3+Z4)\to Z5$) und erhalten die Einheitsmatrix $I_5$. Die Determinante der Einheitsmatrix ist $det(I_5)=1$. Da wir nur eine Zeilenaddition durchgeführt haben, ändert sich die Determinante nicht.

Da $det(S)\ne 0$ ist, folgt, dass die Matrix regulär (invertierbar) ist und einen vollen Spaltenrang $\mathrm{rk}(S)=5$ hat. Daher hat diese Matrix fünf linear unabhängige Spaltenvektoren, die den gesamten Raum aufspannen:$V=\mathrm{span}(s_1,s_2,s_3,s_4,s_5)$ und daher als Basis verwendet werden können. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Untervektorraum / Teilvektorraum
• Basis
• Linearkombination
• Lineare Unabhängigkeit
• Normalenvektor
• Determinante

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