TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 13

Sei $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei beschränkte Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gibt, die $c_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllen.

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Lösung

Es müssen 2 Fallunterscheidungen vorgenommen werden:

Fall 1: $-1<c_{n}<1$

Dann soll für die Folge $a_{n}=c_{n}$ und für die Folge $b_{n}=1$ angenommen werden.
Daraus folgt nach einsetzen in $c_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}=>c_{n}={\frac {c_{n}}{1}}$ also $c_{n}=c_{n}$. Die Anforderung, dass $c_{n}$ durch zwei beschränkte Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ durch ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ ausgedrückt werden soll ist somit offensichtlich erfüllt.
Anmerkung: Für $a_{n}$ kann direkt $c_{n}$ angenommen werden auch wenn $c_{n}$ eine unbeschränkte Folge ist, denn $a_{n}$ nimmt nur $c_{n}$ an wenn sich $c_{n}$ zwischen -1 und 1 befindet und somit durch die Bedingung des Falles jedenfalls beschränkt ist.

Fall 2: $c_{n}>1$ bzw. $c_{n}<-1$

Dann soll für die Folge $a_{n}=1$ und für die Folge $b_{n}={\frac {1}{c_{n}}}$ angenommen werden. (Man sieht warum Fall 1 notwendig ist, denn würde $c_{n}$ sich 0 annähern wäre ${\frac {1}{c_{n}}}$ unbeschränkt, da es ins unendliche wachsen würde bzw. bei $c_{n}=0$ ungültig wäre).
Daraus folgt nach einsetzen in $c_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}=>c_{n}={\frac {1}{\frac {1}{c_{n}}}}<=>c_{n}=c_{n}$. Die Anforderung, dass $c_{n}$ durch zwei beschränkte Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ durch ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ ausgedrückt werden soll ist somit offensichtlich erfüllt.

Mit diesen 2 Fällen wird der gesamte mögliche Bereich von $c_{n}$ mit n aus den natürlichen Zahlen komplett abgedeckt und gezeigt, dass jeder Wert den $c_{n}$ annehmen kann auch durch 2 beschränkte Folgen die durch-dividiert werden ausgedrückt werden kann.

Analog gelten auch die Fälle: $|c_{n}|<1$ und $|c_{n}|>1$.

Lösung (ohne Fallunterscheidung)

$c_{n}={\frac {{\frac {1}{d_{n}}}c_{n}}{\frac {1}{d_{n}}}}\ ,\ d_{n}=\max(|c_{n}|,1)$

Wählt man jetzt $a_{n}$ als ${\frac {1}{d_{n}}}c_{n}$ und $b_{n}$ als ${\frac {1}{d_{n}}}$ ist $a_{n}$ und $b_{n}$ beschränkt, denn:

$|{\frac {c_{n}}{d_{n}}}|\leq 1$ und $|{\frac {1}{d_{n}}}|\leq 1$ (da $d_{n}\geq |c_{n}|$ und $d_{n}\geq 1$)

Lösung (von Prof. Länger)

$c_{n}={\frac {\frac {c_{n}}{|c_{n}|+1}}{\frac {1}{|c_{n}|+1}}}$

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 13.

Beschränktheit

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt nach ${\begin{Bmatrix}{\text{oben}}\\{\text{unten}}\end{Bmatrix}}$ beschränkt $\Longleftrightarrow \exists a\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} :{\begin{cases}x_{n}\leq a&{\text{obere Schranke}}\\x_{n}\geq a&{\text{untere Schranke}}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt beschränkt, wenn sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenz einer Folge

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$!) gilt:

   • $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
   • $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
3. $\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 13:12, 7. Mär. 2026 (CET)

Seien die beiden Folgen $\langle a_{n}\rangle \in \mathbb {R}$ und $\langle b_{n}\rangle \in \mathbb {R}$

Wir definieren:

$(a_{n},\,b_{n})={\begin{cases}&(c_{n},1),&{\text{ wenn }}&c_{n}\in [-1,1],\\&(1,{\frac {1}{c_{n}}}),&{\text{ wenn }}&c_{n}\in (1,+\infty ),\\&(1,{\frac {1}{c_{n}}}),&{\text{ wenn }}&c_{n}\in (-\infty ,-1)\end{cases}}$

Es gilt $\,c_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ und die Folgen sind im Bereich $a_{n}\in [-1,1],\,$ und $b_{n}\in (-1,1]$. Das heißt, dass beide Folgen beschränkt sind.

Folgende Werte können die Folgen $\langle a_{n}\rangle$ bzw. $\langle b_{n}\rangle$ annehmen:

${\begin{alignedat}{1}&{\text{1.Fall}}\colon \;&a_{n}\in [-1,1],\,&b_{n}=1,\\&{\text{2.Fall}}\colon \;&b_{n}\in (0,1),\,&a_{n}=1\\&{\text{3.Fall}}\colon \;&b_{n}\in (-1,0),\,&a_{n}=1\end{alignedat}}$

$\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Threads:

• Thread im inf. forum

Wikipedia:

• Folge
• Monotone Zahlenfolge
• Häufungspunkt
• Grenzwert
• Infimum und Supremum
• Vollständige Induktion

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