TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 13

Sei $(c_{n})_{n \in ℕ}$ eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei beschränkte Folgen $(a_{n})_{n \in ℕ}$ , $(b_{n})_{n \in ℕ}$ gibt, die $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ für alle $n \in ℕ$ erfüllen.

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Lösung

Es müssen 2 Fallunterscheidungen vorgenommen werden:

Fall 1: $- 1 < c_{n} < 1$

Dann soll für die Folge $a_{n} = c_{n}$ und für die Folge $b_{n} = 1$ angenommen werden.
Daraus folgt nach einsetzen in $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}} = > c_{n} = \frac{c_{n}}{1}$ also $c_{n} = c_{n}$ . Die Anforderung, dass $c_{n}$ durch zwei beschränkte Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ durch $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ausgedrückt werden soll ist somit offensichtlich erfüllt.
Anmerkung: Für $a_{n}$ kann direkt $c_{n}$ angenommen werden auch wenn $c_{n}$ eine unbeschränkte Folge ist, denn $a_{n}$ nimmt nur $c_{n}$ an wenn sich $c_{n}$ zwischen -1 und 1 befindet und somit durch die Bedingung des Falles jedenfalls beschränkt ist.

Fall 2: $c_{n} > 1$ bzw. $c_{n} < - 1$

Dann soll für die Folge $a_{n} = 1$ und für die Folge $b_{n} = \frac{1}{c_{n}}$ angenommen werden. (Man sieht warum Fall 1 notwendig ist, denn würde $c_{n}$ sich 0 annähern wäre $\frac{1}{c_{n}}$ unbeschränkt, da es ins unendliche wachsen würde bzw. bei $c_{n} = 0$ ungültig wäre).
Daraus folgt nach einsetzen in $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}} = > c_{n} = \frac{1}{\frac{1}{c_{n}}} < = > c_{n} = c_{n}$ . Die Anforderung, dass $c_{n}$ durch zwei beschränkte Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ durch $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ausgedrückt werden soll ist somit offensichtlich erfüllt.

Mit diesen 2 Fällen wird der gesamte mögliche Bereich von $c_{n}$ mit n aus den natürlichen Zahlen komplett abgedeckt und gezeigt, dass jeder Wert den $c_{n}$ annehmen kann auch durch 2 beschränkte Folgen die durch-dividiert werden ausgedrückt werden kann.

Analog gelten auch die Fälle: $| c_{n} | < 1$ und $| c_{n} | > 1$ .

Lösung (ohne Fallunterscheidung)

$c_{n} = \frac{\frac{1}{d_{n}} c_{n}}{\frac{1}{d_{n}}}, d_{n} = max (| c_{n} |, 1)$

Wählt man jetzt $a_{n}$ als $\frac{1}{d_{n}} c_{n}$ und $b_{n}$ als $\frac{1}{d_{n}}$ ist $a_{n}$ und $b_{n}$ beschränkt, denn:

$| \frac{c_{n}}{d_{n}} | \leq 1$ und $| \frac{1}{d_{n}} | \leq 1$ (da $d_{n} \geq | c_{n} |$ und $d_{n} \geq 1$ )

Lösung (von Prof. Länger)

$c_{n} = \frac{\frac{c_{n}}{| c_{n} | + 1}}{\frac{1}{| c_{n} | + 1}}$

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 13.

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

$⟨ x_{n} ⟩_{n \in ℕ}$ heißt nach ${\begin{matrix} oben \\ unten \end{matrix}}$ beschränkt $⟺ \exists a \in ℝ \forall n \in ℕ : {\begin{matrix} x_{n} \leq a & obere Schranke \\ x_{n} \geq a & untere Schranke \end{matrix}$

$⟨ x_{n} ⟩_{n \in ℕ}$ heißt beschränkt, wenn diese sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt ist.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n \geq 0}$ , falls in jeder $ϵ$ -Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall ϵ > 0 \exists N (ϵ) \in ℕ \forall n > N (ϵ) : | a_{n} - a | < ϵ$ (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
In $ℝ$ (aber z.B. nicht in $ℚ$ !) gilt:
- $a_{n} ↗ : lim_{n \to \infty} a_{n} = sup (a_{n})_{n \in ℕ}$
- $a_{n} ↘ : lim_{n \to \infty} a_{n} = inf (a_{n})_{n \in ℕ}$
$lim x_{n} = x, lim y_{n} = y ⟹ {\begin{matrix} lim (x_{n} \pm y_{n}) = x \pm y \\ lim (x_{n} \cdot y_{n}) = x \cdot y \\ lim (\frac{x_{n}}{y_{n}}) = \frac{x}{y} y_{n}, y \neq 0 \end{matrix}$

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

Induktionsanfang (IA)
Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 13:12, 7. Mär. 2026 (CET)

Seien die beiden Folgen $⟨ a_{n} ⟩ \in ℝ$ und $⟨ b_{n} ⟩ \in ℝ$

Wir definieren:

$(a_{n}, b_{n}) = {\begin{matrix} (c_{n}, 1), & wenn & c_{n} \in [- 1, 1], \\ (1, \frac{1}{c_{n}}), & wenn & c_{n} \in (1, + \infty), \\ (1, \frac{1}{c_{n}}), & wenn & c_{n} \in (- \infty, - 1) \end{matrix}$

Es gilt $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ und die Folgen sind im Bereich $a_{n} \in [- 1, 1],$ und $b_{n} \in (- 1, 1]$ . Das heißt, dass beide Folgen beschränkt sind.

Folgende Werte können die Folgen $⟨ a_{n} ⟩$ bzw. $⟨ b_{n} ⟩$ annehmen:

\begin{matrix} 1.Fall : & a_{n} \in [- 1, 1], & b_{n} = 1, \\ 2.Fall : & b_{n} \in (0, 1), & a_{n} = 1 \\ 3.Fall : & b_{n} \in (- 1, 0), & a_{n} = 1 \end{matrix}

$◼$

Links

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Wikipedia:

Ähnliche Beispiele:

TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 13

Inhaltsverzeichnis

Lösung

Fall 1: $- 1 < c_{n} < 1$

Fall 2: $c_{n} > 1$ bzw. $c_{n} < - 1$

Lösung (ohne Fallunterscheidung)

Lösung (von Prof. Länger)

Hilfreiches von Har203

Lösungsvorschlag von Har203

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TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 13

Lösung

Fall 1: −1<cn<1

Fall 2: cn>1 bzw. cn<−1

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Hilfreiches von Har203

Lösungsvorschlag von Har203

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