TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 13

Sei $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei beschränkte Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gibt, die $c_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllen.

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Lösung

Es müssen 2 Fallunterscheidungen vorgenommen werden:

Fall 1: $-1<c_{n}<1$

Dann soll für die Folge $a_{n}=c_{n}$ und für die Folge $b_{n}=1$ angenommen werden.
Daraus folgt nach einsetzen in $c_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}=>c_{n}={\frac {c_{n}}{1}}$ also $c_{n}=c_{n}$. Die Anforderung, dass $c_{n}$ durch zwei beschränkte Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ durch ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ ausgedrückt werden soll ist somit offensichtlich erfüllt.
Anmerkung: Für $a_{n}$ kann direkt $c_{n}$ angenommen werden auch wenn $c_{n}$ eine unbeschränkte Folge ist, denn $a_{n}$ nimmt nur $c_{n}$ an wenn sich $c_{n}$ zwischen -1 und 1 befindet und somit durch die Bedingung des Falles jedenfalls beschränkt ist.

Fall 2: $c_{n}>1$ bzw. $c_{n}<-1$

Dann soll für die Folge $a_{n}=1$ und für die Folge $b_{n}={\frac {1}{c_{n}}}$ angenommen werden. (Man sieht warum Fall 1 notwendig ist, denn würde $c_{n}$ sich 0 annähern wäre ${\frac {1}{c_{n}}}$ unbeschränkt, da es ins unendliche wachsen würde bzw. bei $c_{n}=0$ ungültig wäre).
Daraus folgt nach einsetzen in $c_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}=>c_{n}={\frac {1}{\frac {1}{c_{n}}}}<=>c_{n}=c_{n}$. Die Anforderung, dass $c_{n}$ durch zwei beschränkte Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ durch ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ ausgedrückt werden soll ist somit offensichtlich erfüllt.

Mit diesen 2 Fällen wird der gesamte mögliche Bereich von $c_{n}$ mit n aus den natürlichen Zahlen komplett abgedeckt und gezeigt, dass jeder Wert den $c_{n}$ annehmen kann auch durch 2 beschränkte Folgen die durch-dividiert werden ausgedrückt werden kann.

Analog gelten auch die Fälle: $|c_{n}|<1$ und $|c_{n}|>1$.

Lösung (ohne Fallunterscheidung)

$c_{n}={\frac {{\frac {1}{d_{n}}}c_{n}}{\frac {1}{d_{n}}}}\ ,\ d_{n}=\max(|c_{n}|,1)$

Wählt man jetzt $a_{n}$ als ${\frac {1}{d_{n}}}c_{n}$ und $b_{n}$ als ${\frac {1}{d_{n}}}$ ist $a_{n}$ und $b_{n}$ beschränkt, denn:

$|{\frac {c_{n}}{d_{n}}}|\leq 1$ und $|{\frac {1}{d_{n}}}|\leq 1$ (da $d_{n}\geq |c_{n}|$ und $d_{n}\geq 1$)

Lösung (von Prof. Länger)

$c_{n}={\frac {\frac {c_{n}}{|c_{n}|+1}}{\frac {1}{|c_{n}|+1}}}$

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