TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 10

Sei $a_n=\frac{\sin (n)}{\sqrt[4]{n}}$ für $n\ge 1$. Man zeige, dass die Folge $a_n$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\epsilon >0$ ein $N(\epsilon )$ angebe.

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Siehe auch TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS17/Beispiel 10

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 10.

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt nach $\left\{\begin{array}{c}\text{oben}\\ \text{unten}\end{array}\right\}$ beschränkt $⟺\mathrm{\exists }a\in ℝ\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:\{\begin{array}{cc}{x}_n\le a& \text{obere Schranke}\\ x_n\ge a& \text{untere Schranke}\end{array}$

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt beschränkt, wenn diese sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt ist.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $ℝ$ (aber z.B. nicht in $\mathbb{Q}$!) gilt:

   • $a_n\nearrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{sup}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
   • $a_n\searrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{inf}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
3. $lim{x}_n=x,lim{y}_n=y⟹\{\begin{array}{c}lim(x_n\pm y_n)=x\pm y\\ lim(x_n\cdot y_n)=x\cdot y\\ lim(\frac{x_n}{y_n})=\frac{x}{y}{y}_n,y\ne 0\end{array}$

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 08:07, 7. Mär. 2026 (CET)

Man zeige, dass die Folge $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\epsilon >0$ ein $N(\epsilon )$ und ein geeignetes $a$ angebe, sodass $\mathrm{\forall }n>N(\epsilon ):|a_n-a|<\epsilon$.

$a_n=\frac{\sin (n)}{\sqrt[4]{n}},n\ge 1$.

• Anmerkung zum Endergebnis: Eigentlich müsste man im Ergebnis die Schranke für $N(\epsilon )=max(1,\lfloor \frac{1}{{\epsilon }^4}\rfloor )$ definierten. Da die Folge $⟨a_n⟩$ für den Index $0$ gar nicht definiert ist, lassen wir diese Fallunterscheidung weg.

Wir schauen uns die ersten Glieder von $⟨a_n⟩$ an. Da die Folge $\sqrt[4]{x}$ nur sehr langsam steigt, verwenden wir hier die 10er Potenzen:

$\begin{array}{ccccccc}n=& a_n& \sqrt[4]{n}& & n=& a_n& \sqrt[4]{n}\\ 1& 0,841470985& 1& & 10& -0,305925552& 1,77827941\\ 100& -0,160126875& 3,16227766& & 1000& 0,147042286& 5,623413252\\ 10000& -0,030561439& 10& & 100000& 0,002010303& 17,7827941\\ 1000000& -0,011067766& 31,6227766& & 10000000& 0,007478515& 56,23413252\\ 100000000& 0,00931639& 100\end{array}$

Wir zerlegen diese Folge in ihre Bestandteile$:⟨b_n⟩:b_n=\sin (n),⟨c_n⟩:c_n=\sqrt[4]{n},n\ge 1$.

• Die Folge $⟨b_n⟩$ mit $b_n=\sin (n)$ hat den Bildbereich $[-1,+1]$, ist damit beschränkt und es gilt $\left|b_n\right|=|\sin (n)|\le 1$. Damit kann die Folge $⟨b_n⟩$ den gesamten Term betragsmäßig nicht vergrößern, sondern nur kleiner oder gleich belassen.

• Die Folge $⟨c_n⟩$ mit $c_n=\sqrt[4]{n}$ ist unbegrenzt, streng monoton steigend, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[4]{n}=+\mathrm{\infty }$.

• Daher ist $⟨d_n⟩$ mit $d_n=\frac{1}{c_n}=\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$ streng monoton fallend und konvertiert als Nullfolge gegen den Grenzwert $a=0$.

Beweis: Sei $\epsilon >0,\epsilon \in ℝ$ gegeben und $a=0$ der vermutete Grenzwert. Zu zeigen ist, dass $\mathrm{\exists }N(\epsilon )\in \mathbb{N}$ mit $|d_n-0|<\epsilon ,$ für alle $n>N(\epsilon )⟹|\frac{1}{\sqrt[4]{n}}-0|=|\frac{1}{\sqrt[4]{n}}|=\frac{1}{\sqrt[4]{n}}<\epsilon ⟹\frac{1}{\epsilon }<\sqrt[4]{n}⟹N(\epsilon )=\lfloor \frac{1}{{\epsilon }^4}\rfloor <n⟹⟨d_n⟩$ konvergiert gegen $0$.

• Da die Folge $b_n=\sin (n)\text{ beschränkt}$ ist und $d_n=\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\text{ streng monoton fallend}$ und als $\text{Nullfolge}$ gegen den Grenzwert $a=0$ konvergiert, gilt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin (n)}{\sqrt[4]{n}}=0$, also $\mathrm{\forall }\epsilon >0:\mathrm{\exists }N(\epsilon )\in {ℝ}^{+}$ mit $|a_n-0|=\left|a_n\right|=\left|\frac{\sin (n)}{\sqrt[4]{n}}\right|=\frac{|\sin (n)|}{\sqrt[4]{n}}<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>N(\epsilon )$.

$⟹$ Das wäre als Beweis der Konvergenz der Folge $⟨a_n⟩$ ausreichend. Wir werden die Konvergenz zusätzlich über das Sandwich-Theorem zeigen.

Sandwich-Theorem:

Seien $⟨a{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ und $⟨b{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergente Folgen mit $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=a$. Weiters gilt für die Folge $⟨c{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $a_n\le c_n\le b_n$ für fast alle (= alle, bis auf endlich viele) $n\in \mathbb{N}$ $⟹$ Dann folgt die Konvergenz von $c_n$ und es gilt $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=a$.

Für unsere Folge bedeutet das Theorem, dass wir zwei Folgen benötigen, welche die Folge $⟨a_n⟩$ einschließen, von denen die Konvergenz bekannt ist und deren Grenzwerte zusätzlich gleich sein müssen.

Wir zeigen zuerst, dass wir eine obere Schranke durch die Folge $d_n=\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$ bereits haben.

$\mathrm{\forall }n\ge 1\in \mathbb{N},:\left|a_n\right|=\left|\frac{\sin (n)}{\sqrt[4]{n}}\right|=\frac{|\sin (n)|}{\sqrt[4]{n}}\le \frac{1}{\sqrt[4]{n}},$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{d}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt[4]{n}}=0$.

Für die untere Schranke bilden wir die negative Folge von $d_n:⟨e{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $e_n=-d_n=-\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$. Die Folge konvertiert wieder gegen den Grenzwert $0$.

Wir haben oben bereits gezeigt, dass $\frac{|\sin (n)|}{\sqrt[4]{n}}\le \frac{1}{\sqrt[4]{n}}$ gilt. Im negativen Bereich haben wir die umgekehrte Eigenschaft: $-\frac{|\sin (n)|}{\sqrt[4]{n}}\ge -\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$.

Damit gilt für unsere Folge $⟨a_n⟩:e_n=-\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\le a_n=\frac{\sin (n)}{\sqrt[4]{n}}\le d_n=\frac{1}{\sqrt[4]{n}}$ mit den Grenzwerten:

$\underset{n\to +infty}{lim}{e}_n=\underset{n\to +infty}{lim}{d}_n=0$. Nach dem Sandwich-Theorem folgt nun $⟹\underset{n\to +infty}{lim}{a}_n=0$.

$⟹$ Die Folge $⟨a_n⟩$ konvergiert gegen den Grenzwert $0$.

Wir geben noch zu einem beliebigen $\epsilon >0$ die Schranke $N(\epsilon )\in \mathbb{N}$ an.

• Wir haben oben bereits im Beweis gezeigt, dass $d_n$ gegen den Grenzwert $0$ konvergiert. Dabei haben wir die Abschätzung für $N(\epsilon )=\lfloor \frac{1}{{\epsilon }^4}\rfloor <n$ gezeigt. Dabei ist $N(\epsilon )\in \mathbb{N}$. Wir verwenden hier die Auswahl der Folgenglieder mit dem Kleinerzeichen $N(\epsilon )<n$. Daher können wir im Ausdruck für $N(\epsilon )=\lfloor \frac{1}{{\epsilon }^4}\rfloor$ abrunden.

• Die angegebene Folge $a_n$ konvertiert gegen den Grenzwert:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin (n)}{\sqrt[4]{n}}=0$.

Gesamtergebnis: $a=0$ und $N(\epsilon )=\lfloor \frac{1}{{\epsilon }^4}\rfloor$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Monotone Zahlenfolge
• Häufungspunkt
• Grenzwert
• Infimum und Supremum
• Vollständige Induktion

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