Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten aus bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über .
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- Vektorraum
Vektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.02 Definition]
Sei eine abelsche Gruppe und ein Körper. heißt Vektorraum, wenn
folgendes gilt:
für (i)
Seien und zwei Polynome 4. Grades und k ein Skalar aus K.
somit ist (i) gezeigt
für (ii) wie für (i)
für (iii)?
für (iv)
=> ja, die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten aus bildet einen Vektorraum über
Muss ich da jetzt auch noch die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und Multiplikation zeigen also
Seien und zwei Polynome 4. Grades.
(Umformungen sind wegen Assoziativität, Kommutativität und Distributivgesetz möglich)
=> daraus sehen wir, dass der Grad von (x+y) niemals größer als 4
bzw. für die Multiplikation
Sei ein Polynom 4. Grades und k ein Element aus k.
auch da sieht man, dass sich der Grad des Polynoms nicht vergrößert (auch nicht verkleinert, aber das interessiert uns hier nicht) und somit auch die Skalarmultiplikation abgschlossen ist.