TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 468

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z\geq 0\}$

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Apfelsaft

Abgeschlossenheit bezüglich U+U:
Ist erfüllt. Addiert man etwas positives mit etwas positiven oder mit 0 kann nur wieder etwas positives herauskommen.

Abgeschlossenheit bezüglich U*K:
Nicht erfüllt.
z.B. U={1,1,1}, $\lambda$ = -1
Ergebnis wäre negativ.
Also kein Teilraum. korrigiert von peter1058: von Vektorraum auf Teilraum geändert (siehe Angabe)

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Sei $\quad \langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 18:37, 3. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z\geq 0\}$

Nicht leer:

• $W\neq \emptyset$, da ${\vec {0}}=(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0)\,\in W$, mit $(x_{1}+x_{2}+x_{3})\geq 0\implies {\vec {0}}\in W$.

Abgeschlossen bezüglich Addition:

• Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3}),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2},y_{3})\in W\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},x_{2},x_{3})+(y_{1},y_{2},y_{3})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}$ mit $x_{1}+x_{2}+x_{3}\geq 0$ und $y_{1}+y_{2}+y_{3}\geq 0\implies (x_{1}+x_{2}+x_{3})+(y_{1}+y_{2}+y_{3})\geq 0\implies (x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})+(x_{3}+y_{3})\geq 0\implies \ ({\vec {x}}+{\vec {y}})\in W$.

Daher ist $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z\geq 0\right\}$ bezüglich der Addition abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

• Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in W,\,\lambda \in \mathbb {R}$.

$\lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (x_{1},x_{2},x_{3})=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},\lambda \cdot x_{3})$ mit $(x_{1}+x_{2}+x_{3})\geq 0$.

Gegenbeispiel: Sei nun $\lambda =-1\in \mathbb {R}$ und ${\vec {x}}=(1,1,1)$ mit $x_{1}+x_{2}+x_{3}=3\geq 0\implies \lambda \cdot {\vec {x}}=(\lambda \cdot 1,\lambda \cdot 1,\lambda \cdot 1)=\lambda \cdot (1,1,1)$. Damit gilt für den Ergebnisvektor $\lambda \cdot (1,1,1)\colon \,(-1)\cdot 3=(-3)\leq 0\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\not \in W$.

Daher ist $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z\geq 0\right\}$ bezüglich der Skalarmultiplikation ${\color {red}nicht}$ abgeschlossen.

Allgemeine Beurteilung: $W=\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z\geq 0\in \mathbb {R} \}$:

Beginnen wir mit $z=0$, dann gilt $y=-x$. Das ist genau die $2$. Winkelhalbierende in der $xy$-Ebene bei $(3/4)\cdot \pi \equiv 135^{\circ }$. Was passiert, wenn noch zusätzlich $z$ hinzukommt. Verschieben wir diese Gerade nach $z=1$, verschiebt sich diese Gerade parallel nach $y=-1\to (0,-1,1)$ und geht durch diesen Punkt u.s.w. D.h diese Geraden spannen eine Ebene durch den Ursprung auf, die durch die $2$. Winkelhalbierende in der $xy$-Ebene geht und zusätzlich durch den Punkt $(0,-1,1)$.

Das Resultat ist eine Ebene, die in allen drei Grundebenen $xy,\,xz,\,yz$ die $2$. Winkelhalbierende als erzeugende drei Geraden alle in der selben Ebene liegen (es würden eine Gerade und ein Punkt bereits ausreichen). Das sind genau folgende Geraden:

In der $xy$-Ebene: $y=-x$

In der $xz$-Ebene: $z=-x$

In der $yz$-Ebene: $z=-y$

Diese Ebene ist die inkludierte Begrenzungsebene der beschriebenen Menge $W$. Zusätzlich kommt zu $W$ noch die Menge $\{(x,y,z)\,\vert \,x+y+z>0\}$ hinzu, also was sich oberhalb dieser Ebene befindet.

Gesamtergebnis: $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z\geq 0\right\}$. $W\neq \emptyset$ ist zwar nicht leer und sogar abgeschlossen bezüglich der Addition, aber ist ${\color {red}nicht}$ abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation.

Somit ist $W$ ${\color {red}kein}$ Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{3}$. $\qquad \qquad \blacksquare$.

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum

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