TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 469

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z=0\}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist ein Teilraum. Diese Beispiel wird im Buch präsentiert. (Beispiel 3.4 in Auflage 4)

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $\quad \langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 17:18, 3. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z=0\}$

Nicht leer:

$W\neq \emptyset$ , da ${\vec {0}}=(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0)\,\in W$ , mit $x_{3}=-(x_{1}+x_{2})=-(0+0)=0\implies {\vec {0}}\in W$ .

Abgeschlossen bezüglich Addition:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},-(x_{1}+x_{2})),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2},-(y_{1}+y_{2}))\in W\colon$

{\begin{alignedat}{1}&{\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},x_{2},-(x_{1}+x_{2})+-(y_{1}+y_{2}))=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},-x_{1}-x_{2}-y_{1}-y_{2})=\\&=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},-((x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})))\implies ({\vec {x}}+{\vec {y}})\in W.\end{alignedat}}

Daher ist

W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z=0\right\}

bezüglich der Addition abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},-(x_{1}+x_{2}))\in W,\,\lambda \in \mathbb {R}$ .

\lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (x_{1},x_{2},-(x_{1}+x_{2}))=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},\lambda \cdot (-(x_{1}+x_{2})))=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},-((\lambda \cdot x_{1})+(\lambda \cdot x_{2})))\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in W

.

.Daher ist $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z=0\right\}$ bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Allgemeine Beurteilung: $W=\{(x,y,z)\,\mid \,x+y+z=0\in \mathbb {R} \}$ : Beginnen wir mit $z=0$ , dann gilt $y=-x$ . Das ist genau die $2$ . Winkelhalbierende in der $xy$ -Ebene bei $(3/4)\cdot \pi \equiv 135^{\circ }$ . Was passiert, wenn noch zusätzlich $z$ hinzukommt. Verschieben wir diese Gerade nach $z=1$ , verschiebt sich diese Gerade parallel nach $y=-1\to (0,-1,1)$ und geht durch diesen Punkt u.s.w. D.h diese Geraden spannen eine Ebene durch den Ursprung auf, die durch die $2$ . Winkelhalbierende in der $xy$ -Ebene geht und zusätzlich durch den Punkt $(0,-1,1)$ .

Das Resultat ist eine Ebene, die in allen drei Grundebenen $xy,\,xz,\,yz$ die 2. Winkelhalbierende als erzeugende drei Geraden alle in der selben Ebene liegen (es würden eine Gerade und ein Punkt bereits ausreichen). Das sind genau folgende Geraden:

In der

xy

-Ebene:

y=-x

In der

xz

-Ebene:

z=-x

In der

yz

-Ebene:

z=-y

Die Menge $W$ reduziert sich auf:

W=\left\{(x,y,-(x+y))\,\mid \,x,\,y\in \mathbb {R} \right\}

Gesamtergebnis: $W=\left\{(x,y,-(x+y))\,\mid \,x,\,y\in \mathbb {R} \right\}$ . Da $W\neq \emptyset$ und abgeschlossen bezüglich der Addition, sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist, folgt $W\leq V$ . Somit ist $W$ ein Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{3}$ .