TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 471

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x=-z\}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium 1 des Unterraumkriteriums, $U\neq \varnothing$ , ist erfüllt, da es Vektoren gibt, für die gilt $x=-z$ , wie z. B.

${\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}}$

2. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das zweite Kriterium ist erfüllt, weil für jede Addition zweier Vektoren aus U gilt, dass die Summe wieder erfüllt: $x=-z$ (Abgeschlossenheit bzgl. Addition von $U+U$ ). z. B.

${\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2\\0\\2\end{bmatrix}}$

3. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das dritte Kriterium ist erfüllt, weil für jedes Produkt eines Vektors aus U mit einem Skalar $\lambda$ aus $\mathbb {R}$ gilt, dass er wieder die Kondition $x=-z$ erfüllt (Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation von $U\cdot K$ ).

z. B.

${\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}}\cdot 3={\begin{bmatrix}-3\\0\\3\end{bmatrix}}$

Es handelt sich bei W also um einen Teilraum des oben genannten Vektorraums.

Geometrische Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Shikantaza 10:15, 30. Mai 2009 (CEST)

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $\quad \langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 23:07, 2. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\,\mid \,x=-z\}$

Allgemeine Beurteilung: $y\in \mathbb {R}$ ist beliebig, d.h., dass alle Figuren entlang der $y$ -Richtungen gestreckt werden. Es gilt $x=-z$ , also ist das sozusagen die $2$ . Mediane in der $xz$ -Ebene. Betrachten wir noch die $y$ -Komponente, dann erhalten wir eine Ebene, welche die $xz$ -Ebene durch den Ursprung im Winkel von $(3/4)\cdot \pi =135^{\circ }$ teilt.

Nicht leer:

$W\neq \emptyset$ , da ${\vec {0}}=(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0)\,\in W$ , mit $x_{1}=-x_{3}\implies {\vec {0}}\in W$ .

Abgeschlossen bezüglich Addition:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},-x_{1}),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2},-y_{1})\in W\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},x_{2},-x_{1})+(y_{1},y_{2},-y_{1})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},-(x_{1}+y_{1}))\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}\in W$ .

Daher ist

W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x=-z\right\}

bezüglich der Addition abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},-x_{1})\in W,\,\lambda \in \mathbb {R}$ .

\lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (x_{1},x_{2},-x_{1})=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},\lambda \cdot (-x_{1}))=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},-\lambda \cdot x_{1})\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in W

.

Daher ist

W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x=-z\right\}

bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Geometrische Interpretation: $x_{1}=-x_{3}$ :

Durch diesen Untervektorraum wird eine Ebene aufgespannt mit der Eigenschaft, dass diese in der

xz

-Ebene durch die

2

. Mediane verläuft. Da die

y

-Koordinate beliebig ist, wird diese Mediane auf eine Ebene erweitert bzw.gestreckt.

Die Menge $W$ reduziert sich auf:

W=\left\{(x,y,-x)\,\mid \,x,\,y\in \mathbb {R} \right\}

Gesamtergebnis: $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x=-z\right\}$ . Da $W\neq \emptyset$ und abgeschlossen bezüglich Addition sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation folgt $W\leq V$ . Somit ist $W$ ein Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{3}$ .