TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 473

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x^{2}+y^{2}=1\right\}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium 1 des Unterraumkriteriums, $U\neq \varnothing$ , ist erfüllt, da es Vektoren gibt, für die gilt $x^{2}+y^{2}=1$ , wie z. B.

${\begin{bmatrix}0\\1\\8\end{bmatrix}}$

2. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt hier die Abgeschlossenheit bzgl. Addition von $U+U$ zu prüfen.

Das zweite Kriterium ist nicht erfüllt, da nicht für jede Addition zweier Vektoren aus U gilt, dass die Summe wieder $x^{2}+y^{2}=1$ erfüllt. Wir wählen z. B. die folgenden Vektoren und addieren:

${\begin{bmatrix}0\\1\\p\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\sqrt {\frac {5}{9}}}\\{\frac {2}{3}}\\q\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {\frac {5}{9}}}\\{\frac {5}{3}}\\p+q\end{bmatrix}}$

Nun müsste für die Summe der beiden Vektoren gelten $x^{2}+y^{2}=1$ . Dies ist jedoch nicht der Fall, weil ${\frac {5}{9}}+{\frac {25}{9}}={\frac {10}{3}}\not =1$ : Keine Abgeschlossenheit bzgl. Addition lt. Kriterium 2.

3. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das dritte Kriterium ist auch nicht erfüllt, weil für jedes Produkt eines Vektors aus U mit einem Skalar $\lambda$ aus $\mathbb {R}$ gelten müsste, dass es wieder die Kondition $x^{2}+y^{2}=1$ erfüllt (Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation von $U\cdot K$ ). Dies ist jedoch auch nicht der Fall.

z. B.

${\begin{bmatrix}0\\1\\r\end{bmatrix}}\cdot \lambda ={\begin{bmatrix}0\\\lambda \\r\cdot \lambda \end{bmatrix}}$

Diese Gleichung stimmt nur für $\lambda =1$ und nicht für alle Werte des Körpers $\mathbb {R}$ . Somit ist auch das dritte Kriterium nicht erfüllt. Es handelt sich bei W also nicht um einen Teilraum des oben genannten Vektorraums.

Geometrische Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Shikantaza 19:24, 30. Mai 2009 (CEST)

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $\quad \langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 20:57, 2. Mär. 2026 (CET) Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x^{2}+y^{2}=1\right\}$

Anmerkung: $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x^{2}+y^{2}=1\right\}\colon \,x^{2}+y^{2}=1$ . D.h. in der $x,\,y$ -Ebene handelt es sich um einen Kreis, um den Einheitskreis in der Ebene. Da $z\in \mathbb {R}$ beliebig ist, entsteht ein leeres Rohr mit dem Radius $r^{2}=1$ , welches genau um die $z$ -Achse als Mittelpunkt entsteht.

Anmerkung: Der kürzeste Gegenbeweis ist wohl: ${\vec {0}}=(0,0,0)\implies 0^{2}+0^{2}=0\neq 1\implies {\vec {0}}\not \in W\implies W$ ist kein Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{3}$ .

Nicht leer:

$W\neq \emptyset$ , da ${\vec {b_{1}}}=(1,0,0)$ mit $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\implies {\vec {b_{1}}}\in W$ .

Abgeschlossen bezüglich Addition:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3}),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2},y_{3})\in W\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},x_{2},x_{3})+(y_{1},y_{2},y_{3})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3})$ mit

{\begin{alignedat}{1}&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\quad \land \quad y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=1,\,x_{3},\,y_{3}\in \mathbb {R} \implies \\&(x_{1}+y_{1})^{2}+(x_{2}+y_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2\cdot x_{1}\cdot y_{1}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2\cdot x_{2}\cdot y_{2}+y_{2}^{2}=\\&(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})+2\cdot (x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2})=1+1+2\cdot (x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}).\end{alignedat}}

\implies {\color {red}1+1+2\cdot (x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2})}

müsste den Wert

1

annehmen:

Gegenbeispiel:

(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)\implies 1^{2}+0^{2}=1,\,0^{2}+1^{2}=1,

beide

\,\in W

und für die Summe gilt

1^{2}+1^{2}=2\not \in W

.

Daher ist

W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x^{2}+y^{2}=1\right\}

bezüglich der Addition

{\color {red}nicht}

abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

Seien ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in W,\,\lambda \in \mathbb {R}$ .

\lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (x_{1},x_{2},x_{3})=(\lambda \cdot x_{1},\lambda \cdot x_{2},\lambda \cdot x_{3})

mit

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\implies (\lambda \cdot x_{1})^{2}+(\lambda \cdot x_{2})^{2}=(\lambda )^{2}\cdot x_{1}^{2}+(\lambda )^{2}\cdot x_{2}^{2}=(\lambda ^{2})\cdot (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=(\lambda ^{2})\cdot 1=\lambda ^{2}

.

Gegenbeispiel:

{\vec {x}}=(\cos(\pi /4),\,\sin(\pi /4),0)=((1/2)\cdot {\sqrt {2}},(1/2)\cdot {\sqrt {2}},0)

. Weiters sei

\lambda =2\implies

.

\lambda \cdot {\vec {x}}=(\lambda \cdot \cos(\pi /4),\,\lambda \cdot \sin(\pi /4),0)=(\lambda \cdot (1/2)\cdot {\sqrt {2}},\,\lambda \cdot (1/2)\cdot {\sqrt {2}},0)\implies ((\lambda \cdot x_{1})^{2}+(\lambda \cdot x_{2})^{2}=\lambda ^{2}\cdot (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=\lambda ^{2}\cdot 1=\lambda ^{2}=4\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\not \in W

.

Daher ist

W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x^{2}+y^{2}=1\right\}

bezüglich der Skalarmultiplikation ebenfalls

{\color {red}nicht}

abgeschlossen.

Geometrische Interpretation: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=r^{2}$ ist in der Ebene bekanntlich ein Kreis mit dem Radius $r$ . Im Raum ist $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=r^{2}$ ein Kreis in der $xy$ -Ebene. Da der Radius $r=1$ ist, beschreibt diese vorab einmal den Einheitskreis (ohne Berücksichtigung der $z$ -Achse). Weiters ist die $z$ -Koordinate $x_{3}\in \mathbb {R}$ beliebig, also wird aus dem Kreis ein Hohlzylinder, mit einem Radius von $1$ und dem Mittelpunkt des Zylinders der $z$ -Achse.

Gesamtergebnis: $W=\left\{(x,y,z)\,\mid \,x^{2}+y^{2}=1\right\}$ . $\langle W,+,.\rangle$ ist ${\color {red}kein}$ Unterraum des $\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ . Die Menge $W$ ist zwar nicht leer ( $W\neq \emptyset$ ), aber weder die Addition, noch die Skalarmultiplikation sind abgeschlossen. $\qquad \qquad \blacksquare$ .

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wikipedia:

Ähnliche Beispiele:

Weitere Beispiele: