TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 468

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\{(x,y,z)\;|\;x+y+z\geq 0\}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Apfelsaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abgeschlossenheit bezüglich U+U:
Ist erfüllt. Addiert man etwas positives mit etwas positiven oder mit 0 kann nur wieder etwas positives herauskommen.

Abgeschlossenheit bezüglich U*K:
Nicht erfüllt.
z.B. U={1,1,1}, $\lambda$ = -1
Ergebnis wäre negativ.
Also kein Teilraum. korrigiert von peter1058: von Vektorraum auf Teilraum geändert (siehe Angabe)

Hilfsmittel von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $(V,+,K)$ ein Vektorraum und $U$ eine nicht leere Teilmenge von $V$ . Bildet $(U,+,K)$ wieder einen Vektorraum, dann heißt $U$ Unterraum oder Teilraum von $V$ .

Als vereinfachte Schreibweise verwendet man $U\leq V$ für die Eigenschaft, dass $U$ Unterraum von $V$ ist. Man beachte, dass der ganze Raum $V$ und die Menge $\mathbf {\{0\}}$ , die nur aus dem Nullvektor besteht, immer Unterräume von $V$ sind:

 $V\leq V\quad$  und  $\quad \mathbf {\{0\}} \leq V$

Sei $\langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

${\begin{aligned}&U\neq \mathbf {\emptyset } \\&{\vec {x}},{\vec {y}}\in U&&\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}\in U&&(U{\text{ ist abgeschlossen bezüglich }}U+U)\\&{\vec {x}}\in U,\lambda \in K&&\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in U&&(U{\text{ ist abgeschlossen bezüglich }}U\cdot K)\end{aligned}}$

Lösung von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den nächsten Abschnitten werden folgende Variable verwendet:

 ${\vec {x}}=(x_{1},\,x_{2},\,x_{3}),\;{\vec {y}}=(y_{1},\,y_{2},\,y_{3})\quad$  mit < $1\ \leq i\ \leq \ 3,\,x_{i},\,y_{i}\in \mathbb {R}$

Da ${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in W$ muss die Gleichung $x_{1}+x_{2}+x_{3}\geq 0$ und $y_{1}+y_{2}+y_{3}\geq 0$ gelten.

Nicht leere Menge: $\mathbf {0} =(0,0,0)$ ist in $U$ , da $0+0+0>=0\implies U\neq \emptyset$

Abgeschlossen: $(x+y+z\geq 0)$

(1) Addition:

Die Addition ergibt ${\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})+(y_{1},\,y_{2},\,y_{3})=(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,x_{3}+y_{3})$

Zu prüfen ist, ob die Gleichung auch für die Summe der beiden Vektoren gilt. Damit wäre die Summe $\in W$ :

 ${\begin{aligned}&(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})+(x_{3}+y_{3})=(x_{1}+x_{2}+x_{3})+(y_{1}+y_{2}+y_{3})\implies \\&\implies {\text{ beide Teile }}x_{1}+x_{2}+x_{3}\geq 0{\text{ und }}\;y_{1}+y_{2}+y_{3}\geq 0>\implies (x_{1}+x_{2}+x_{3})+(y_{1}+y_{2}+y_{3})\geq 0\end{aligned}}$

$\implies$ Der Raum $W$ ist bezüglich der Addition abgeschlossen.

(2) Multiplikation: $(x+y+z\geq 0)$

Zu zeigen ist, wenn ${\vec {x}}\in W,\lambda \in \mathbb {R} \implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in W\quad (W$ ist abgeschlossen bezüglich $W\cdot \mathbb {R} )$

Gegenbeispiel:

Wähle ${\vec {x}}=(1,0,0)\in W$ , da $(x+y+z\geq 0)$ und $\lambda =-1\in \mathbb {R}$

 $\lambda \cdot {\vec {x}}=(-1)\cdot (1,0,0)=(-1,0,0)\notin W$ , da die Gleichung  $x+y+z\geq 0)$  nicht erfüllt wird.

$\implies W$ ist kein Teilraum von $\mathbb {R} ^{3}$

Geometrisch $(x+y+z=0)$ :

Diese Gleichung mit $\mathbf {=0}$ (nicht $\geq 0$ ) erzeugt eine Ebene durch den Nullpunkt mit dem Normalvektor ${\vec {n}}=(1,\,1,\,1)$ . Die Ungleichung $x+y+z\geq 0$ teilt $\mathbb {R} ^{3}$ in zwei Halbräume $x+y+z\geq 0$ und $x+y+z<0$ inklusive der aufgespannten Ebene durch den Ursprung, der auf einer Seite dieser Ebene liegt. Der Rand bzw. die Abgrenzung ist die Ebene mit $x+y+z=0$ . $W$ ist ein abgeschlossener Halbraum.