TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 468

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Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=ℝ3 über ℝ ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W={(x,y,z)∣x+y+z≥0}

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}}


Hilfreiches

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Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.05 Definition]

Sei ⟨U,+,K⟩ ein Vektorraum, U⊆V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U≠∅
  • x→,y→∈U⟹x→+y→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • x→∈U,λ∈K⟹λx→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U⋅K)

Lösungsvorschlag von Apfelsaft

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Abgeschlossenheit bezüglich U+U:
Ist erfüllt. Addiert man etwas positives mit etwas positiven oder mit 0 kann nur wieder etwas positives herauskommen.

Abgeschlossenheit bezüglich U*K:
Nicht erfüllt.
z.B. U={1,1,1}, λ = -1
Ergebnis wäre negativ.
Also kein Teilraum. korrigiert von peter1058: von Vektorraum auf Teilraum geändert (siehe Angabe)

Hilfreiches von Har203

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Vektorraum
Vektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.02 Definition]

Sei (V,+) eine abelsche Gruppe und K ein Körper. (V,+,K) heißt Vektorraum, wenn ∀x→,y→∈V,∀λ,μ∈K folgendes gilt:

  1. λ⋅(x→+y→)=λx→+λy→
  2. (λ+μ)⋅x→=λx→+μx
  3. (λ⋅μ)⋅x→=λ⋅(μx→)
  4. 1⋅x→=x→

Untervektorraum

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Sei ⟨V,+,K⟩ ein Vektorraum, U⊆V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U≠∅
  • x→,y→∈U⟹x→+y→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • x→∈aU,λ∈K⟹λx→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U⋅K)

Lösungsvorschlag von Har203

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--Har203 18:37, 3. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=ℝ3 über ℝ ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W={(x,y,z)∣x+y+z≥0}


Nicht leer:

  • W≠∅, da 0→=(x1,x2,x3)=(0,0,0)∈W, mit (x1+x2+x3)≥0⟹0→∈W.


Abgeschlossen bezüglich Addition:

  • Seien x→=(x1,x2,x3),y→=(y1,y2,y3)∈W⟹x→+y→=(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)=(x1+y1,x2+y2,x3+y3 mit x1+x2+x3≥0 und y1+y2+y3≥0⟹(x1+x2+x3)+(y1+y2+y3)≥0⟹(x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)≥0⟹ (x→+y→)∈W.


Daher ist W={(x,y,z)∣x+y+z≥0} bezüglich der Addition abgeschlossen.


Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

  • Seien x→=(x1,x2,x3)∈W,λ∈ℝ.
λ⋅x→=λ⋅(x1,x2,x3)=(λ⋅x1,λ⋅x2,λ⋅x3) mit (x1+x2+x3)≥0.
Gegenbeispiel: Sei nun λ=−1∈ℝ und x→=(1,1,1) mit x1+x2+x3=3≥0⟹λ⋅x→=(λ⋅1,λ⋅1,λ⋅1)=λ⋅(1,1,1). Damit gilt für den Ergebnisvektor λ⋅(1,1,1):(−1)⋅3=(−3)≤0⟹λ⋅x→∉W.


Daher ist W={(x,y,z)∣x+y+z≥0} bezüglich der Skalarmultiplikation nicht abgeschlossen.


Allgemeine Beurteilung: W={(x,y,z)∣x+y+z≥0∈ℝ}:

Beginnen wir mit z=0, dann gilt y=−x. Das ist genau die 2. Winkelhalbierende in der xy-Ebene bei (3/4)⋅π≡135∘. Was passiert, wenn noch zusätzlich z hinzukommt. Verschieben wir diese Gerade nach z=1, verschiebt sich diese Gerade parallel nach y=−1→(0,−1,1) und geht durch diesen Punkt u.s.w. D.h diese Geraden spannen eine Ebene durch den Ursprung auf, die durch die 2. Winkelhalbierende in der xy-Ebene geht und zusätzlich durch den Punkt (0,−1,1).

Das Resultat ist eine Ebene, die in allen drei Grundebenen xy,xz,yz die 2. Winkelhalbierende als erzeugende drei Geraden alle in der selben Ebene liegen (es würden eine Gerade und ein Punkt bereits ausreichen). Das sind genau folgende Geraden:

In der xy-Ebene: y=−x
In der xz-Ebene: z=−x
In der yz-Ebene: z=−y


Diese Ebene ist die inkludierte Begrenzungsebene der beschriebenen Menge W. Zusätzlich kommt zu W noch die Menge {(x,y,z)|x+y+z>0} hinzu, also was sich oberhalb dieser Ebene befindet.


Gesamtergebnis: W={(x,y,z)∣x+y+z≥0}. W≠∅ ist zwar nicht leer und sogar abgeschlossen bezüglich der Addition, aber ist nicht abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation.

Somit ist W kein Untervektorraum von ℝ3. ◼.

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Wikipedia:

Ähnliche Beispiele:

Weitere Beispiele:

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