TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 470

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V={ℝ}^3$ über $ℝ$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\mid x=2\cdot z\}$

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Lösungsvorschlag von neo

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2z\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2c\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2(z+c)\\ y+b\\ z+c\end{array}\right)$
$\Rightarrow$ abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition

$\lambda \in ℝ:\lambda \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda x\\ \lambda y\\ \lambda z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\lambda z\\ \lambda y\\ \lambda z\end{array}\right)$
$\Rightarrow$ abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation

$\left(\begin{array}{c}2\ast 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\in W$
$\Rightarrow$ enthält neutrales Element

$\Rightarrow$ Teilraum

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Untervektorraum

Sei $⟨V,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in aU,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 23:52, 2. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V={ℝ}^3$ über $ℝ$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\mid x=2\cdot z\}$

Allgemeine Beurteilung: $y\in ℝ$ ist beliebig, d.h., dass alle Figuren entlang der $y$-Richtungen gestreckt werden. Es gilt $x=2\cdot z$, nach $z$ aufgelöst, gilt $z=(x/2)$, eine Gerade durch den Ursprung ($d=0$) mit der Steigung $k=(1/2)$ in der $x,z$ Ebene. Da $y$ beliebig ist, wird diese Gerade in den $y$-Richtungen zu einer Ebene aufgespannt bzw. gestreckt.

Nicht leer:

• $W\ne \mathrm{\varnothing }$, da $\overrightarrow{0}=(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)\in W$, mit $x_1=2\cdot x_3⟹\overrightarrow{0}\in W$.

Abgeschlossen bezüglich Addition:

• Seien $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,(x_1/2)),\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,(y_1/2))\in W⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=(x_1,x_2,(x_1/2))+(y_1,y_2,(y_1/2))=(x_1+y_1,x_2+y_2,(1/2)\cdot (x_1+y_1))⟹(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})\in W$.

Daher ist $W=\{(x,y,z)\mid x=2\cdot z\}$ bezüglich der Addition abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

• Seien $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,(x_1/2))\in W,\lambda \in ℝ$.

$\lambda \cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (x_1,x_2,(x_1/2))=(\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot x_2,\lambda \cdot (x_1/2))=(\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot x_2,(1/2)\cdot \lambda \cdot x_1)⟹\lambda \cdot \overrightarrow{x}\in W$.

Daher ist $W=\{(x,y,z)\mid x=2\cdot z\}$ bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Geometrische Interpretation: $y\in ℝ$ ist beliebig, d.h., dass alle Figuren entlang der $y$-Richtungen gestreckt werden. Es gilt $x=2\cdot z$, nach $z$ aufgelöst, gilt $z=(x/2)$, eine Gerade durch den Ursprung ($d=0$) mit der Steigung $k=(1/2)$ in der $xz$ Ebene. Da $y$ beliebig ist, wird diese Gerade in den $y$-Richtungen zu einer Ebene aufgespannt bzw. gestreckt.

Die Menge $W$ reduziert sich auf:

$W=\{(x,y,(x/2))\mid x,y\in ℝ\}$

Gesamtergebnis: $W=\{(x,y,z)\mid x=2\cdot z\}$. Da $W\ne \mathrm{\varnothing }$ und abgeschlossen bezüglich der Addition, sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist, folgt $W\le V$. Somit ist $W$ ein Untervektorraum von ${ℝ}^3$.

Eine Basis des Unterraumes wäre: $(1,0,(1/2)),(0,1,0)$ und die Dimension des Unterraumes ist $\dim (W)=2$. $◼$.

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum

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