TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 471

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V={ℝ}^3$ über $ℝ$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\mid x=-z\}$

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $⟨U,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in U,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag

1. Kriterium

Kriterium 1 des Unterraumkriteriums, $U\ne \varnothing$, ist erfüllt, da es Vektoren gibt, für die gilt $x=-z$, wie z. B.

$\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

2. Kriterium

Das zweite Kriterium ist erfüllt, weil für jede Addition zweier Vektoren aus U gilt, dass die Summe wieder erfüllt:$x=-z$ (Abgeschlossenheit bzgl. Addition von $U+U$). z. B.

$\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 2\end{array}\right]$

3. Kriterium

Das dritte Kriterium ist erfüllt, weil für jedes Produkt eines Vektors aus U mit einem Skalar $\lambda$ aus $ℝ$ gilt, dass er wieder die Kondition $x=-z$ erfüllt (Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation von $U\cdot K$).

z. B.

$\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\cdot 3=\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 3\end{array}\right]$

Es handelt sich bei W also um einen Teilraum des oben genannten Vektorraums.

Geometrische Darstellung

Shikantaza 10:15, 30. Mai 2009 (CEST)

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Untervektorraum

Sei $⟨V,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in aU,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 23:07, 2. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V={ℝ}^3$ über $ℝ$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\mid x=-z\}$

Allgemeine Beurteilung: $y\in ℝ$ ist beliebig, d.h., dass alle Figuren entlang der $y$-Richtungen gestreckt werden. Es gilt $x=-z$, also ist das sozusagen die $2$. Mediane in der $xz$-Ebene. Betrachten wir noch die $y$-Komponente, dann erhalten wir eine Ebene, welche die $xz$-Ebene durch den Ursprung im Winkel von $(3/4)\cdot \pi =135^{\circ }$ teilt.

Nicht leer:

• $W\ne \mathrm{\varnothing }$, da $\overrightarrow{0}=(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)\in W$, mit $x_1=-x_3⟹\overrightarrow{0}\in W$.

Abgeschlossen bezüglich Addition:

• Seien $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,-x_1),\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,-y_1)\in W⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=(x_1,x_2,-x_1)+(y_1,y_2,-y_1)=(x_1+y_1,x_2+y_2,-(x_1+y_1))⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in W$.

Daher ist $W=\{(x,y,z)\mid x=-z\}$ bezüglich der Addition abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

• Seien $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,-x_1)\in W,\lambda \in ℝ$.

$\lambda \cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (x_1,x_2,-x_1)=(\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot x_2,\lambda \cdot (-x_1))=(\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot x_2,-\lambda \cdot x_1)⟹\lambda \cdot \overrightarrow{x}\in W$.

Daher ist $W=\{(x,y,z)\mid x=-z\}$ bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Geometrische Interpretation: $x_1=-x_3$:

Durch diesen Untervektorraum wird eine Ebene aufgespannt mit der Eigenschaft, dass diese in der $xz$-Ebene durch die $2$. Mediane verläuft. Da die $y$-Koordinate beliebig ist, wird diese Mediane auf eine Ebene erweitert bzw.gestreckt.

Die Menge $W$ reduziert sich auf:

$W=\{(x,y,-x)\mid x,y\in ℝ\}$

Gesamtergebnis: $W=\{(x,y,z)\mid x=-z\}$. Da $W\ne \mathrm{\varnothing }$ und abgeschlossen bezüglich Addition sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation folgt $W\le V$. Somit ist $W$ ein Untervektorraum von ${ℝ}^3$.

Eine Basis des Unterraumes wäre: $(1,0,-1),(0,1,0)$ und die Dimension des Unterraumes ist $\dim (W)=2$. $◼$.

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum

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