TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 469

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=ℝ3 über ℝ ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W={(x,y,z)∣x+y+z=0}

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch: 
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder 

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.) 

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Hilfreiches

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.05 Definition]

Sei ⟨U,+,K⟩ ein Vektorraum, U⊆V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U≠∅
  • x→,y→∈U⟹x→+y→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • x→∈U,λ∈K⟹λx→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U⋅K)

Lösungsvorschlag

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist ein Teilraum. Diese Beispiel wird im Buch präsentiert. (Beispiel 3.4 in Auflage 4)

Hilfreiches von Har203

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Vektorraum
Vektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.02 Definition]

Sei (V,+) eine abelsche Gruppe und K ein Körper. (V,+,K) heißt Vektorraum, wenn ∀x→,y→∈V,∀λ,μ∈K folgendes gilt:

  1. λ⋅(x→+y→)=λx→+λy→
  2. (λ+μ)⋅x→=λx→+μx
  3. (λ⋅μ)⋅x→=λ⋅(μx→)
  4. 1⋅x→=x→

Untervektorraum

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ⟨V,+,K⟩ ein Vektorraum, U⊆V heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • U≠∅
  • x→,y→∈U⟹x→+y→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U+U)
  • x→∈aU,λ∈K⟹λx→∈U(U ist abgeschlossen bezüglich U⋅K)

Lösungsvorschlag von Har203

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 17:18, 3. Mär. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V=ℝ3 über ℝ ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch:

W={(x,y,z)∣x+y+z=0}


Nicht leer:

  • W≠∅, da 0→=(x1,x2,x3)=(0,0,0)∈W, mit x3=−(x1+x2)=−(0+0)=0⟹0→∈W.


Abgeschlossen bezüglich Addition:

  • Seien x→=(x1,x2,−(x1+x2)),y→=(y1,y2,−(y1+y2))∈W:
x→+y→=(x1,x2,−(x1+x2)+−(y1+y2))=(x1+y1,x2+y2,−x1−x2−y1−y2)==(x1+y1,x2+y2,−((x1+y1)+(x2+y2)))⟹(x→+y→)∈W.


Daher ist W={(x,y,z)∣x+y+z=0} bezüglich der Addition abgeschlossen.


Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

  • Seien x→=(x1,x2,−(x1+x2))∈W,λ∈ℝ.
λ⋅x→=λ⋅(x1,x2,−(x1+x2))=(λ⋅x1,λ⋅x2,λ⋅(−(x1+x2)))=(λ⋅x1,λ⋅x2,−((λ⋅x1)+(λ⋅x2)))⟹λ⋅x→∈W.


.Daher ist W={(x,y,z)∣x+y+z=0} bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen.


Allgemeine Beurteilung: W={(x,y,z)∣x+y+z=0∈ℝ}: Beginnen wir mit z=0, dann gilt y=−x. Das ist genau die 2. Winkelhalbierende in der xy-Ebene bei (3/4)⋅π≡135∘. Was passiert, wenn noch zusätzlich z hinzukommt. Verschieben wir diese Gerade nach z=1, verschiebt sich diese Gerade parallel nach y=−1→(0,−1,1) und geht durch diesen Punkt u.s.w. D.h diese Geraden spannen eine Ebene durch den Ursprung auf, die durch die 2. Winkelhalbierende in der xy-Ebene geht und zusätzlich durch den Punkt (0,−1,1).

Das Resultat ist eine Ebene, die in allen drei Grundebenen xy,xz,yz die 2. Winkelhalbierende als erzeugende drei Geraden alle in der selben Ebene liegen (es würden eine Gerade und ein Punkt bereits ausreichen). Das sind genau folgende Geraden:

In der xy-Ebene: y=−x
In der xz-Ebene: z=−x
In der yz-Ebene: z=−y


Die Menge W reduziert sich auf:

W={(x,y,−(x+y))∣x,y∈ℝ}


Gesamtergebnis: W={(x,y,−(x+y))∣x,y∈ℝ}. Da W≠∅ und abgeschlossen bezüglich der Addition, sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation ist, folgt W≤V. Somit ist W ein Untervektorraum von ℝ3.


Für die Auswahl einer Basis gehen wir einfach vor:

Wir setzen (frei) für x=1 und für y=0 ein und erhalten: b1→=(1,0,−(1+0))=(1,0,−1). Analog, nur die Koordinaten vertauscht, für den zweiten Basisvektor: x=0 und y=1 und erhalten b2→=(0,1,−(0+1))=(0,1,−1). Das diese Vektoren linear unabhängig sind, ist von der Auswahl her klar (das bekannte Muster): (1,0,x) und (0,1,x):
Eine Basis des Unterraumes wäre: (1,0,−1),(0,1,−1) und die Dimension des Unterraumes ist dim⁡(W)=2. ◼.
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wikipedia:

Ähnliche Beispiele:

Weitere Beispiele:

Abgerufen von „https://vowi.fsinf.at/index.php?title=TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_469&oldid=94092“