TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 468

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums \mathbb{R}_3 über \mathbb{R} ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch: $W=\{x,y,z)\mid x=2z\}$

Lösungsvorschlag von neo

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2z\\y\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2c\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2(z+c)\\y+b\\z+c\end{pmatrix}}$
$\Rightarrow$ abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition

$\lambda \in \mathbb {R} :\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\\lambda y\\\lambda z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\lambda z\\\lambda y\\\lambda z\end{pmatrix}}$
$\Rightarrow$ abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation

${\begin{pmatrix}2*0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in W$
$\Rightarrow$ enthält neutrales Element

$\Rightarrow$ Teilraum