TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 31

Man untersuche die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle $n\in \mathbb{N}$ definiert).

$a_n=\frac{2n^3+2n-3}{4n^3+n^2+5}$.

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Lösungsvorschlag

Nachdem die höchste Potenz der uneigentlich konvergenten Folge im Zähler kleiner gleich der höchsten Potenz im Nenner ist, ist die Folge konvergent. Nun müssen wir nur noch den Grenzwert bestimmen. Dazu heben wir die höchste Potenz aus den beiden uneigentlich konvergenten Folgen heraus, und erhalten so:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^3(2+\frac{2}{n^2}-\frac{3}{n^3})}{n^3(4+\frac{1}{n}+\frac{5}{n^3})}$

Nun können wir kürzen und n gegen unendlich gehen lassen:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2+\frac{2}{n^2}-\frac{3}{n^3}}{4+\frac{1}{n}+\frac{5}{n^3}}=\frac{2+0+0}{4+0+0}=\frac{1}{2}$

Somit haben wir die Aufgabe gelöst und den Grenzwert der Folge bestimmt.

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 31.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $ℝ$ (aber z.B. nicht in $\mathbb{Q}$!) gilt:

   • $a_n\nearrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{sup}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
   • $a_n\searrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{inf}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
3. $lim{x}_n=x,lim{y}_n=y⟹\{\begin{array}{c}lim(x_n\pm y_n)=x\pm y\\ lim(x_n\cdot y_n)=x\cdot y\\ lim(\frac{x_n}{y_n})=\frac{x}{y}{y}_n,y\ne 0\end{array}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 00:19, 12. Mär. 2026 (CET)

Man untersuche die Folge ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle$n\in \mathbb{N}$ definiert). $a_n=\frac{2n^3+2n-3}{4n^3+n^2+5}$.

Wohldefiniert:

Wir untersuchen, ob in der Folge $a_n$ der Nenner $4n^3+n^2+5$ den Wert $0$ annehmen kann.

Für jede natürliche Zahl $o\in \mathbb{N},o\ge 1$ gilt:

$4\cdot o^3>0,o^2>0,5>0⟹4\cdot o^3+o^2+5>0⟹$

$⟹$ Der Nenner des Bruches ist für alle $n\in \mathbb{N}$ ungleich $0$. Damit ist auch der Bruch für alle $n\in \mathbb{N}$ wohldefiniert. Daher sind alle Folgenglieder und nicht nur fast alle $a_n,n\in \mathbb{N}$ wohldefiniert.

Konvergenz und Grenzwert:

Wir dividieren durch $n^3$:

$a_n=\frac{2n^3+2n-3}{4n^3+n^2+5}=\frac{2+2/n^2-3/n^3}{4+1/n+5/n^3}⟹\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2+2/n^2-3/n^3}{4+1/n+5/n^3}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2+0-0}{4+0+0}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Grenzwert
• Wohldefiniertheit

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