TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 469

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Untersuchen Sie, ob Teilraum des Vektorraums über ist und beschreiben Sie die Menge geometrisch:

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum
Untervektorraum[Bearbeiten, Wikipedia, 3.05 Definition]

Sei ein Vektorraum, heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  • ist abgeschlossen bezüglich
  • ist abgeschlossen bezüglich

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium 1 des Unterraumkriteriums, , ist erfüllt, da es Vektoren gibt, für die gilt , wie z. B.

2. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das zweite Kriterium ist erfüllt, weil für jede Addition zweier Vektoren aus U gilt, dass die Summe wieder erfüllt: (Abgeschlossenheit bzgl. Addition von ). z. B.

3. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das dritte Kriterium ist erfüllt, weil für jedes Produkt eines Vektors aus U mit einem Skalar aus gilt, dass er wieder die Kondition erfüllt (Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation von ).

z. B.

Es handelt sich bei W also um einen Teilraum des oben genannten Vektorraums.

Geometrische Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Shikantaza 10:15, 30. Mai 2009 (CEST)


Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]