TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 469

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb {R} ^{3}$ über $\mathbb {R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:
$W=\{(x,y,z)\;|\;x=-z\}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kriterium 1 des Unterraumkriteriums, $U\neq \varnothing$ , ist erfüllt, da es Vektoren gibt, für die gilt $x=-z$ , wie z. B.

${\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}}$

2. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das zweite Kriterium ist erfüllt, weil für jede Addition zweier Vektoren aus U gilt, dass die Summe wieder erfüllt: $x=-z$ (Abgeschlossenheit bzgl. Addition von $U+U$ ). z. B.

${\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2\\0\\2\end{bmatrix}}$

3. Kriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das dritte Kriterium ist erfüllt, weil für jedes Produkt eines Vektors aus U mit einem Skalar $\lambda$ aus $\mathbb {R}$ gilt, dass er wieder die Kondition $x=-z$ erfüllt (Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation von $U\cdot K$ ).