TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 473

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V={ℝ}^3$ über $ℝ$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1\}$

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $⟨U,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in U,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag

1. Kriterium

Kriterium 1 des Unterraumkriteriums, $U\ne \varnothing$, ist erfüllt, da es Vektoren gibt, für die gilt $x^2+y^2=1$, wie z. B.

$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 8\end{array}\right]$

2. Kriterium

Es gilt hier die Abgeschlossenheit bzgl. Addition von $U+U$ zu prüfen.

Das zweite Kriterium ist nicht erfüllt, da nicht für jede Addition zweier Vektoren aus U gilt, dass die Summe wieder $x^2+y^2=1$ erfüllt. Wir wählen z. B. die folgenden Vektoren und addieren:

$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ p\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\sqrt{\frac{5}{9}}\\ \frac{2}{3}\\ q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sqrt{\frac{5}{9}}\\ \frac{5}{3}\\ p+q\end{array}\right]$

Nun müsste für die Summe der beiden Vektoren gelten $x^2+y^2=1$. Dies ist jedoch nicht der Fall, weil $\frac{5}{9}+\frac{25}{9}=\frac{10}{3}≠1$: Keine Abgeschlossenheit bzgl. Addition lt. Kriterium 2.

3. Kriterium

Das dritte Kriterium ist auch nicht erfüllt, weil für jedes Produkt eines Vektors aus U mit einem Skalar $\lambda$ aus $ℝ$ gelten müsste, dass es wieder die Kondition $x^2+y^2=1$ erfüllt (Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation von $U\cdot K$). Dies ist jedoch auch nicht der Fall.

z. B.

$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ r\end{array}\right]\cdot \lambda =\left[\begin{array}{c}0\\ \lambda \\ r\cdot \lambda \end{array}\right]$

Diese Gleichung stimmt nur für $\lambda =1$ und nicht für alle Werte des Körpers $ℝ$. Somit ist auch das dritte Kriterium nicht erfüllt. Es handelt sich bei W also nicht um einen Teilraum des oben genannten Vektorraums.

Geometrische Darstellung

Shikantaza 19:24, 30. Mai 2009 (CEST)

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Untervektorraum

Sei $⟨V,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in aU,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 20:57, 2. Mär. 2026 (CET) Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V={ℝ}^3$ über $ℝ$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1\}$

Anmerkung: $W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1\}:x^2+y^2=1$. D.h. in der $x,y$-Ebene handelt es sich um einen Kreis, um den Einheitskreis in der Ebene. Da $z\in ℝ$ beliebig ist, entsteht ein leeres Rohr mit dem Radius $r^2=1$, welches genau um die $z$-Achse als Mittelpunkt entsteht.

Anmerkung: Der kürzeste Gegenbeweis ist wohl: $\overrightarrow{0}=(0,0,0)⟹0^2+0^2=0\ne 1⟹\overrightarrow{0}\in ̸W⟹W$ ist kein Untervektorraum von ${ℝ}^3$.

Nicht leer:

• $W\ne \mathrm{\varnothing }$, da $\overrightarrow{b_1}=(1,0,0)$ mit $x_1^2+x_2^2=1⟹\overrightarrow{b_1}\in W$.

Abgeschlossen bezüglich Addition:

• Seien $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3),\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,y_3)\in W⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$ mit

$\begin{array}{cc}& x_1^2+x_2^2=1\wedge y_1^2+y_2^2=1,x_3,y_3\in ℝ⟹\\ & (x_1+y_1{)}^2+(x_2+y_2{)}^2=x_1^2+2\cdot x_1\cdot y_1+y_1^2+x_2^2+2\cdot x_2\cdot y_2+y_2^2=\\ & (x_1^2+x_2^2)+(y_1^2+y_2^2)+2\cdot (x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2)=1+1+2\cdot (x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2).\end{array}$

$⟹1+1+2\cdot (x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2)$ müsste den Wert $1$ annehmen:

Gegenbeispiel: $(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)⟹1^2+0^2=1,0^2+1^2=1,$ beide $\in W$ und für die Summe gilt $1^2+1^2=2\in ̸W$.

Daher ist $W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1\}$ bezüglich der Addition $nicht$ abgeschlossen.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

• Seien $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3)\in W,\lambda \in ℝ$.

$\lambda \cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (x_1,x_2,x_3)=(\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot x_2,\lambda \cdot x_3)$ mit $x_1^2+x_2^2=1⟹(\lambda \cdot x_1{)}^2+(\lambda \cdot x_2{)}^2=(\lambda {)}^2\cdot x_1^2+(\lambda {)}^2\cdot x_2^2=({\lambda }^2)\cdot (x_1^2+x_2^2)=({\lambda }^2)\cdot 1={\lambda }^2$.

Gegenbeispiel: $\overrightarrow{x}=(\cos (\pi /4),\sin (\pi /4),0)=((1/2)\cdot \sqrt{2},(1/2)\cdot \sqrt{2},0)$. Weiters sei $\lambda =2⟹$.

$\lambda \cdot \overrightarrow{x}=(\lambda \cdot \cos (\pi /4),\lambda \cdot \sin (\pi /4),0)=(\lambda \cdot (1/2)\cdot \sqrt{2},\lambda \cdot (1/2)\cdot \sqrt{2},0)⟹((\lambda \cdot x_1{)}^2+(\lambda \cdot x_2{)}^2={\lambda }^2\cdot (x_1^2+x_2^2)={\lambda }^2\cdot 1={\lambda }^2=4⟹\lambda \cdot \overrightarrow{x}\in ̸W$.

Daher ist $W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1\}$ bezüglich der Skalarmultiplikation ebenfalls $nicht$ abgeschlossen.

Geometrische Interpretation: $x_1^2+x_2^2=r^2$ ist in der Ebene bekanntlich ein Kreis mit dem Radius $r$. Im Raum ist $x_1^2+x_2^2=r^2$ ein Kreis in der $xy$-Ebene. Da der Radius $r=1$ ist, beschreibt diese vorab einmal den Einheitskreis (ohne Berücksichtigung der $z$-Achse). Weiters ist die $z$-Koordinate $x_3\in ℝ$ beliebig, also wird aus dem Kreis ein Hohlzylinder, mit einem Radius von $1$ und dem Mittelpunkt des Zylinders der $z$-Achse.

Gesamtergebnis: $W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1\}$. $⟨W,+,.⟩$ ist $kein$ Unterraum des ${ℝ}^3$ über $ℝ$. Die Menge $W$ ist zwar nicht leer ($W\ne \mathrm{\varnothing }$), aber weder die Addition, noch die Skalarmultiplikation sind abgeschlossen. $◼$.

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum

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