Sei
für
. Man zeige, dass die Folge
konvergiert, indem man zu beliebigem
ein
angebe.
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Siehe auch TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS17/Beispiel 10
- Sandwich-Theorem
Seien
und
konvergente Folgen mit
.
Sei
eine Folge mit
für fast alle
.
Dann folgt die Konvergenz von
und es gilt
. (Satz 4.22)
Wir untersuchen einmal
und
. Dabei sehen wir, dass die Ergebnisse für
sind, und
. Wir vermuten also, dass
, da der Zähler des Bruches immer zwischen -1 und +1 ist, und der Nenner schön langsam gegen unendlich konvergiert.
Jetzt ist sowohl
als auch
.
Jetzt gilt dank dem Sandwich-Theorem, dass auch
Jetzt wissen, dass wir es mit einer Nullfolge zu tun haben. Wir können analog zu 522 folgenden Ansatz wählen, um ein
zu finden:
Eine Folge
konvergiert gegen den Grenzwert
, wenn es für jedes
einen Index
gibt, ab dem alle Elemente im Intervall
liegen. Die Funktion
berechnet zu jedem
einen passenden Index
.
darf weder ausgesucht noch berechnet werden.
Das heißt, folgende Ungleichung muss erfüllt werden:
Wir wissen außerdem, dass
und dass
und daher
.
Um die Ungleichung zu vereinfachen, schätzen wir nach unten hin ab:
Wir kommen wenn wir dieses Wissen jetzt einsetzen auf folgendes:
Jetzt mache ich 3 Arbeitsschritte auf einmal:
- mit
multiplizieren
- mit
dividieren
- mit
potentieren
Das ergibt nun:
Lösung: