TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 525

Sei $V=\mathbb {C} ^{3}$, $U=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{1}-z_{2}=z_{3}\}$, $W=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{2}=z_{1}\}$. Zeigen Sie, daß $U$ und $W$ Teilräume von $V$ sind und bestimmen Sie deren Dimension.

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösung von mathematica4

Dass U und W Teilräume von V sind, zeigt man mit den Unterraumkriterien:

- U und W sind nicht leer

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in U\quad$

- Additivität

${\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U,W\quad$

- Homogenität

$\lambda {\overrightarrow {x}}\in U,W\quad$

Anwendung der Unterraumkriterien für U:

U ist nicht leer, denn der Nullvektor ist zum Beispiel enthalten

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in U\quad$

Additivität

Sei

${\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\-x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

${\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

Dann ist

${\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\-x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&+&y_{1}\\-x_{2}&+&-y_{2}\\x_{3}&+&y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\--x_{2}-y_{2}\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}\in U\quad$

Homogenität

$\lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\\lambda -x_{2}\\\lambda x_{3}\end{pmatrix}}\in U\quad$

$\Longrightarrow$ U ist ein Teilraum von V

Anwendung der Unterraumkriterien für W:

W ist nicht leer, denn der Nullvektor ist zum Beispiel enthalten

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in W\quad$

Additivität

Sei

${\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

${\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

Dann ist

${\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&+&y_{1}\\-x_{2}&+&-y_{2}\\x_{3}&+&y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\--x_{2}-y_{2}\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}\in W\quad$

Homogenität

$\lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\\lambda x_{1}\\\lambda x_{3}\end{pmatrix}}\in W\quad$

$\Longrightarrow$ W ist ein Teilraum von V

Dimension von U $\left|{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\right|=2$

Dimension von W $\left|{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right|=2$

Hilfsmittel von Har203

S ei $(V,+,K)$ ein Vektorraum und $U$ eine nicht leere Teilmenge von $V$. Bildet $(U,+,K)$ wieder einen Vektorraum, dann heißt $U$ Unterraum oder Teilraum von $V$.

Als vereinfachte Schreibweise verwendet man $U\leq V$ für die Eigenschaft, dass $U$ Unterraum von $V$ ist. Man beachte, dass der ganze Raum $V$ und die Menge $\mathbf {\{{\vec {0}}\}}$, die nur aus dem Nullvektor besteht, immer Unterräume von $V$ sind:

$V\leq V\quad$ und $\quad \mathbf {\{{\vec {0}}\}} \leq V$

Sei $\langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

${\begin{aligned}&U\neq \mathbf {\emptyset } \\&{\vec {x}},{\vec {y}}\in U&&\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}\in U&&(U{\text{ ist abgeschlossen bezüglich }}U+U)\\&{\vec {x}}\in U,\lambda \in K&&\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in U&&(U{\text{ ist abgeschlossen bezüglich }}U\cdot K)\end{aligned}}$

Zum Prüfen, ob eine nicht leere Teilmenge $U$ von $V$ einen Unterraum bildet, muss man nur untersuchen, ob zu je zwei Vektoren ${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U$ und $\lambda \in K$ auch ${\vec {x}}+{\vec {y}}\in U$ und $\lambda \cdot {\vec {x}}\in U$ sind.

Eine Menge $M=\{{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\ldots ,{\vec {v_{n}}}\}$ von Elementen eines Vektorraums $V$ ist genau dann linear unabhängig, wenn nur die triviale Linearkombination den Nullvektor darstellt:

$\lambda _{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}\cdot {\vec {v_{n}}}=\mathbf {\vec {0}} \implies \lambda _{1}=\lambda _{2}=\ldots =\lambda _{n}=\mathbf {0}$.

$M$ ist genau dann linear abhängig, wenn es eine nicht triviale Linearkombination gibt, die den Nullvektor darstellt:

$\exists \,(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})\neq (0,\,0,\,\ldots ,\,0)=\mathbf {\vec {0}}$ mit $\lambda _{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+\lambda _{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}\cdot {\vec {v_{n}}}=\mathbf {\vec {0}}$

Das Skalarprodukt, auch inneres Produkt, ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\parallel {\vec {x}}\parallel \cdot \parallel {\vec {y}}\parallel \cdot \cos(\sphericalangle ({\vec {x}},\,{\vec {y}}))$.

Dabei bezeichnen $\parallel {\vec {x}}\parallel$ und $\parallel {\vec {y}}\parallel$ jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit $\cos(\sphericalangle ({\vec {x}},{\vec {y}}))=\cos(\varphi )$ wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels $\varphi$ bezeichnet.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinander stehen.

In einem kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt mehrerer Vektoren als

${\begin{aligned}{\text{in }}\mathbb {R} ^{2}\colon \;&{\vec {x}}=(x_{1},x_{2})&{\text{ und }}\quad {\vec {y}}&=(y_{1},y_{2}),&{\text{ als }}\quad {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}&=x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}\\{\text{in }}\mathbb {R} ^{3}\colon \;&{\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})&{\text{ und }}\quad {\vec {y}}&=(y_{1},y_{2},y_{3}),&{\text{ als }}\quad {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}&=x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}+x_{3}\cdot y_{3}\\{\text{in }}\mathbb {R} ^{n}\colon \;&{\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&{\text{ und }}\quad {\vec {y}}&=(y_{1},\ldots ,y_{n}),&{\text{ als }}\quad {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}&=x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}+\ldots +x_{n}\cdot y_{n}\end{aligned}}$

Lösung von Har203

In den nächsten Abschnitten werden folgende Variable verwendet:

${\vec {x}}=(x_{1},\,x_{2},\,x_{3}),\;{\vec {y}}=(y_{1},\,y_{2},\,y_{3})\quad$ mit $1\ \leq i\ \leq \ 3,\ \;x_{i},\,y_{i}\in \mathbb {C}$

${\begin{aligned}{\text{Sind die beiden Vektoren }}&{\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U,&{\text{ muss die Gleichung }}\quad &x_{1}-x_{2}=x_{3}&{\text{ und }}\quad &y_{1}-y_{2}=y_{3}&{\text{ gelten.}}\\{\text{Sind die beiden Vektoren }}&{\vec {x}},\,{\vec {y}}\in W,&{\text{ muss die Gleichung }}\quad &x_{1}=x_{2},x_{3}\in \mathbb {C} &{\text{ und }}\quad &y_{1}=y_{2},y_{3}\in \mathbb {C} &{\text{ gelten.}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\text{Leere Menge von }}U:&{\text{ Der Nullvektor ist }}\mathbf {\vec {0}} \in &U&{\text{, da }}\quad &z_{1}-z_{2}=z_{3}&&\implies 0-0=0.\\&{\text{Leere Menge von }}W:&{\text{ Der Nullvektor ist }}\mathbf {\vec {0}} \in &W&{\text{, da }}\quad &z_{1}=z_{2},z_{3}=0&&\implies 0=0.\end{aligned}}$

Addition in U

Die Gleichung $z_{1}-z_{2}=z_{3}$ muss für alle Elemente aus $U$ erfüllt sein.

Seien ${\vec {x}},\,{\vec {y}}$ wie oben $\in U$ definiert, dann gilt für beide Vektoren die Gleichung und es folgt daraus

${\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,x_{3}+y_{3})$

Für die Summe gilt, wenn man in die Gleichung einsetzt

$(x_{1}+y_{1})-(x_{2}+y_{2})-(x_{3}+y_{3})=(x_{1}-x_{2}-x_{3})+(y_{1}-y_{2}-y_{3})=(0)+(0)=0\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}\in U$ 

$\implies$ Die Addition ist in $U$ abgeschlossen.

Multiplikation in U

Die Gleichung: $z_{1}-z_{2}-z_{3}=0$

Sei $\lambda \in K,{\vec {x}}=(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\in U$ mit $x_{1}-x_{2}=x_{3}$, daraus folgt

$\lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=(\lambda \cdot x_{1},\,\lambda \cdot x_{2},\,\lambda \cdot x_{3})$

Für das Produkt gilt, wenn man in die Gleichung einsetzt

$\lambda \cdot x_{1}-\lambda \cdot x_{2}-\lambda \cdot x_{3}=\lambda \cdot (x_{1}-x_{2}-x_{3})=\lambda \cdot 0=0\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in U$

$\implies$ Die Multiplikation ist in $U$ abgeschlossen.

Dimension von U

Die Gleichung: $z_{1}-z_{2}-z_{3}=0$

Wählen wir die Vektoren ($z_{1}-z_{2}=z_{3}$):

${\begin{aligned}&z_{1}=1,z_{2}=0&&\implies z_{3}=1&&{\vec {v_{1}}}=(1,\,0,\,1)\\&z_{1}=0,z_{2}=1&&\implies z_{3}=-1,&&{\vec {v_{2}}}=(0,\,1,\,-1)\\&z_{1}=1,z_{2}=1&&\implies z_{3}=0,&&{\vec {v_{3}}}=(1,\,1,\,0)\end{aligned}}$

Wir überprüfen die lineare Unabhängigkeit: $\sum _{i=1}^{3}\,\lambda _{i}\cdot {\vec {v_{i}}}=\mathbf {\vec {0}}$

$\lambda _{1}\cdot (1,\,0,\,1)+\lambda _{2}\cdot (0,\,1,\,-1)+\lambda _{3}\cdot (1,\,1,\,0)=\mathbf {\vec {0}}$

Wir erhalten drei Gleichungen

$\lambda _{1}+\lambda _{3}=0\quad \,\land \,\quad \lambda _{2}+\lambda _{3}=0\quad \,\land \,\quad \lambda _{1}-\lambda _{2}=0$

${\begin{aligned}\lambda _{1}=&-\lambda _{3}&(2)\implies &\lambda _{2}&=-\lambda _{3}&\implies \lambda _{3}=-\lambda _{2}\\\lambda _{2}=&-\lambda _{3}&(3)\implies &-\lambda _{3}&=-\lambda _{3}&\implies 0=0\\\lambda _{1}=&\lambda _{2}&(1)\implies &\lambda _{1}&=\lambda _{2}\end{aligned}}$

Wir wählen $\lambda _{1}=1\implies \lambda _{2}=1\,\land \,\lambda _{3}=-1$

$\lambda _{1}\cdot (1,\,0,\,1)+\lambda _{2}\cdot (0,\,1,\,-1)+\lambda _{3}\cdot (1,\,1,\,0)=(\lambda _{1}+\lambda _{3},\,\lambda _{2}+\lambda _{3},\,\lambda _{1}-\lambda _{2})=(0,\,0,\,0)=\mathbf {\vec {0}}$

Da wir aus einer nicht trivialen Linearkombination eine Lösung gefunden haben, sind diese drei Vektoren ${\vec {v_{1}}},\,{\vec {v_{2}}},\,{\vec {v_{3}}}$ nicht linear unabhängig. Daher verwenden wir nur die beiden ersten Vektoren ${\vec {v_{1}}}$ und ${\vec {v_{2}}}$:

${\vec {v_{1}}}=(1,\,0,\,1)$ und ${\vec {v_{2}}}=(0,\,1,\,-1)$, die sicher linear unabhängig sind, da die ersten beiden Koordinaten $(1,\,0,\,.)$ und $(0,\,1,.)$ ausgekreuzt sind.

${\vec {u}}=(u_{1},\,u_{2},\,u_{3}=u_{1}-u_{2}),u_{3}\lambda _{1},\,\lambda _{2}\in \mathbb {C} \implies (u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\lambda _{1}\cdot (1,\,0,\,1)+\lambda _{2}\cdot (0,\,1,\,-1)$

Wir lösen die Gleichungen $\lambda _{1}\cdot (1,\,0,\,1)+\lambda _{2}\cdot (0,\,1,\,-1)$:

${\begin{aligned}\lambda _{1}&=u_{1}\\\lambda _{2}&=u_{2}\\\lambda _{1}-\lambda _{2}&=u_{3}=u_{1}-u_{2}&\implies u_{1}-u_{2}=u_{1}-u2\quad \surd \end{aligned}}$

Jeder Vektor ${\vec {u}}=(u_{1},\,u_{2},\,u_{3})\in U$ hat damit die Form

${\vec {u}}=(u_{1},\,u_{2},\,u_{1}-u_{2})=u_{1}\cdot (1,\,0,\,1)+u_{2}\cdot (0,\,1,\,-1)$

Die Vektoren $(1,0,1),(0,1,-1)$ sind linear unabhängig und können als Basis verwendet werden $\implies \mathbf {\dim U=2}$

Addition in W

Die Gleichung $z_{1}-z_{2}=0$ muss für alle Elemente aus $W$ erfüllt sein.

Seien ${\vec {x}},\,{\vec {y}}$ wie oben $\in W$ definiert, dann gilt für beide Vektoren die Gleichung und es folgt daraus

${\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1}+y_{1},\,x_{2}+y_{2},\,x_{3}+y_{3})$

Für die Summe gilt, wenn man in die Gleichung einsetzt

$(x_{1}+y_{1})=(x_{2}+y_{2})\implies x1-x2=y2-y1=(0)=(0)=0\implies {\vec {x}}+{\vec {y}}\in W$ 

$\implies$ Die Addition ist in $W$ abgeschlossen.

Multiplikation in W

Die Gleichung: $z_{1}=z_{2}$

Sei $\lambda \in K,{\vec {x}}=(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\in W$ mit $x_{1}=x_{2}$, daraus folgt

$\lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=(\lambda \cdot x_{1},\,\lambda \cdot x_{2},\,\lambda \cdot x_{3})$

Für das Produkt gilt, wenn man in die Gleichung einsetzt

$\lambda \cdot x_{1}=\lambda \cdot x_{2}\implies x_{1}=x_{2}\implies \lambda \cdot {\vec {x}}\in W$

$\implies$ Die Multiplikation ist in $W$ abgeschlossen.

Dimension von W

Die Gleichung: $z_{1}=z_{2}$

Wählen wir die Vektoren:

${\begin{aligned}&z_{1}=1,\,z_{2}=1,\,z_{3}\in \mathbb {C} &&\implies {\text{ wähle }}\ z_{3}=0&&{\vec {x}}=(1,\,1,\,0)\\&z_{1}=0,\,z_{2}=0,\,z_{3}\in \mathbb {C} &&\implies {\text{ wähle }}\ z_{3}=1&&{\vec {x}}=(0,\,0,\,1)\end{aligned}}$

Die Vektoren sind $(1,\,1,\,0)$ und $(0,\,0,\,1)$

Jeder Vektor $\in W$ hat damit die Form:

$(z_{1},\,z_{2},\,z_{3})=z_{1}\cdot (1,\,1,\,0)+z_{3}\cdot (0,\,0,\,1)$.

Die Vektoren $(1,\,1,\,0),(0,\,0,\,1)$ sind linear unabhängig und können als Basis verwendet werden$\implies \mathbf {\dim W=2}$

Ergebnis

${\begin{aligned}U&{\text{ ist ein Teilraum von }}\mathbb {C} ^{3}{\text{ mit }}\dim \ U=2&\\W&{\text{ ist ein Teilraum von }}\mathbb {C} ^{3}{\text{ mit }}\dim \ W=2&\end{aligned}}$

Links

Wikipädia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum
• Körper
• Dimension
• Abgeschlossenheit
• Basis

• Ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/ Beispiel 360
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/ Beispiel 362