TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 526

Sei $V=\mathbb {C} ^{3}$, $U=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{1}=2z_{2}=3z_{3}\}$, $W=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{2}=0\}$. Zeigen Sie, daß $U$ und $W$ Teilräume von $V$ sind und bestimmen Sie deren Dimension.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösung von Baccus

(wurde vom UE-Leiter so ähnlich vorgerechnet)

Zeige Unterraumkriterien für U:

• U ist nicht leer: Gegenbeispiel ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in U\quad \surd$
• Additivität:

Sei ${\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}/2\\x_{1}/3\end{pmatrix}}$, ${\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}/2\\y_{1}/3\end{pmatrix}}$

$\Rightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}/2\\x_{1}/3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}/2\\y_{1}/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&+y_{1}\\x_{1}/2&+y_{1}/2\\x_{1}/3&+y_{1}/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\{\frac {1}{2}}(x_{1}+y_{1})\\{\frac {1}{3}}(x_{1}+y_{1})\end{pmatrix}}\in U\quad \surd$

• Homogenität:

$\lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\\lambda x_{1}/2\\\lambda x_{1}/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\{\frac {1}{2}}\lambda x_{1}\\{\frac {1}{3}}\lambda x_{1}\end{pmatrix}}\in U\quad \surd$

$\Longrightarrow \quad U$ ist Unterraum von $V$.

Zeige Unterraumkriterien für W:

• W ist nicht leer: Gegenbeispiel ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in W\quad \surd$
• Additivität:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\0\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\0\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\0\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}\in W\quad \surd$

• Homogenität:

$\lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\0\\\lambda x_{3}\end{pmatrix}}=\in W\quad \surd$

$\Longrightarrow \quad W$ ist Unterraum von $V$.

Dimension von U

Die Basis von $U$ ist z.B. ${\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/3\end{pmatrix}}$; der gesamte Teilraum $U\subset \mathbb {C} ^{3}$ kann also von $\lambda {\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/3\end{pmatrix}}$ erzeugt werden, hängt also nur von einer Variablen ab $\Longrightarrow \dim U=1$.

Dimension von W

Die kanonische Basis von $W$ ist ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$; der gesamte Teilraum $W$ kann also von $\lambda {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab $\Longrightarrow \dim W=2$.

Baccus 01:56, 19. Jan 2007 (CET)

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Zur Überprüfung, ob eine nicht leere Teilmenge $U$ von $V$ einen Unterraum bildet, muss man nur untersuchen, ob zu je zwei Vektoren ${\vec {x}},{\vec {y}}\in U$ und $\lambda \in K$ auch $({\vec {x}}+{\vec {y}})$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in U$.

Dimension

Dimension

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $V=\mathbb {C} ^{3},U=\left\{\,\left(\,z_{1},\,z_{2},\,z_{3}\,\right)\in V\mid z_{1}\,=\,2\cdot z_{2}\,=\,3\cdot z_{3}\,\right\},W=\left\{\,\left(z_{1},\,z_{2},\,z_{3}\,\right)\in V\mid z_{2}\,=\,0\,\right\}$.

Zeigen Sie, dass $U$ und $W$ Teilrāume von $V$ sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Zur Überprüfung, ob eine nicht leere Teilmenge $U$ von $V$ einen Unterraum bildet, muss man nur untersuchen, ob zu je zwei Vektoren ${\vec {x}},{\vec {y}}\in U$ und $\lambda \in K$ auch $({\vec {x}}+{\vec {y}})$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in U$.

Unterraum U

$U$ ist eine nicht leere Menge, da der Nullvektor ${\vec {0_{V}}}\in U$ mit $z_{1}=2\cdot z_{2}=3\cdot z_{3}=0$.

Seien ${\vec {x}}=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ und ${\vec {y}}=\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)$ zwei Vektoren aus $U$. Wir müssen zeigen, dass $U$ bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Es muss gelten $\colon$

${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U\implies ({\vec {x}}+{\vec {y}})\in U$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in U\,$ mit $\lambda \in C$.

• Vertäglichkeit bezüglich der Addition:

${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U\implies$ es gilt $x_{1}=2\cdot x_{2}=\,3\cdot x_{3}$ und $y_{1}=2\cdot y_{2}=\,3\cdot y_{3}\implies {\vec {z}}={\vec {x}}+{\vec {y}}=\left(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right)\implies (x_{1}+y_{1})=2\cdot (x_{2}+y_{2})=3\cdot (x_{3}+3\cdot y_{3})\implies {\vec {z}}\in U$.

• Vertäglichkeit bezüglich der Skalarmultiplikation:

$\lambda \in \mathbb {C} ,\,{\vec {x}}\in U\implies \lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot \left(\,x_{1},\,x_{1},\,x_{3}\,\right)=\left(\,\lambda \cdot x_{1},\,\lambda \cdot x_{2},\,\lambda \cdot x_{3}\,\right)\implies$ da ${\vec {x}}\in U\,$ gilt $x_{1}=2\cdot x_{2}=3\cdot x_{3}$ und es gilt $\lambda \cdot x_{1}=2\cdot \lambda \cdot x_{2}=3\cdot \lambda \cdot x_{3}\implies (\lambda \cdot {\vec {x}})\in U\,$.

• $\implies U$ ist Unterraum von $V$

• Dimension von $U$ mit der Formel: $z_{1}=2\cdot z_{2}=3\cdot z_{3}$:

Sei $z_{1}\in \mathbb {C}$, dann gilt $z_{2}={\frac {1}{2}}\cdot z_{1}$ und $z_{3}={\frac {1}{3}}\cdot z_{1}$. D.h. wir haben nur eine einzige Wahlmöglichkeit für die drei Koordinaten $z_{1}$ und $z_{2}$ und $z_{3}$ leiten sich daraus ab. Als Lösungsraum können wir nur einen linear unabhängigen Vektor aufstellen. Wir wählen die erste Koordinate $z_{1}$ frei und erhalten die abgeleiteten Koordinaten $z_{2},\,z_{3}$. D.h. unsere Lösungen sind alle auf einer Geraden mit dem Vielfachen z.B. des Vektors

${\vec {x}}=\left(6,3,2\right)$.

D.h. die Dimension von $U\colon \,\dim(U)=1$.

Unterraum W

$W$ ist eine nicht leere Menge, da der Nullvektor ${\vec {0_{V}}}\in W$ mit $z_{2}=0$.

Seien ${\vec {x}}=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ und ${\vec {y}}=\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)$ zwei Vektoren aus $W$. Wir müssen zeigen, dass $W$ bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Es muss gelten $\colon$

${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in W\implies ({\vec {x}}+{\vec {y}})\in W$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in W\,$ mit $\lambda \in C$.

• Vertäglichkeit bezüglich der Addition:

${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in W\implies$ es gilt $x_{2}=0$ und $y_{2}=0\implies {\vec {z}}={\vec {x}}+{\vec {y}}=\left(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right)\implies (x_{2}+y_{2})=0\implies {\vec {z}}\in W$.

• Vertäglichkeit bezüglich der Skalarmultiplikation:

$\lambda \in \mathbb {C} ,\,{\vec {x}}\in W\implies \lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot \left(\,x_{1},\,x_{1},\,x_{3}\,\right)=\left(\,\lambda \cdot x_{1},\,\lambda \cdot x_{2},\,\lambda \cdot x_{3}\,\right)\implies$ da ${\vec {x}}\in W\,$ gilt $x_{2}=0$ und es gilt $\lambda \cdot x_{2}=0\implies (\lambda \cdot {\vec {x}})\in W\,$.

• $\implies W$ ist Unterraum von $V$

• Dimension von $W\colon \,$ mit der Formel$\colon \,z_{2}=0$:

Wir können zwei linear unabhängige Vektoren aufstellen. Die dritte Komponente $x_{2}$ muss immer $x_{2}=0$ sein. Als Lösungsraum erhalten wir eine Ebene. Wir können diese Ebene z.B. durch die beiden nachstehenden Vektoren aufspannen. Wir wählen die erste und die letzte Koordinate frei, aber so dass diese beiden Vektor nicht voneinander linear abhängig sind und es muss gelten $x_{2}=0$.

${\vec {x}}={\vec {e_{1}}}=\left(1,0,0\right)$ und ${\vec {y}}={\vec {e_{3}}}=\left(0,0,1\right)$.

D.h. die Dimension von $W\colon \,\dim(U)=2$. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum
• Lineare Abbildung
• Homomorphismus
• Matrix

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