TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 525

Sei $V=\mathbb {C} ^{3}$, $U=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{1}-z_{2}=z_{3}\}$, $W=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{2}=z_{1}\}$. Zeigen Sie, daß $U$ und $W$ Teilräume von $V$ sind und bestimmen Sie deren Dimension.

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösung von mathematica4

Dass U und W Teilräume von V sind, zeigt man mit den Unterraumkriterien:

- U und W sind nicht leer

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in U\quad$

- Additivität

${\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U,W\quad$

- Homogenität

$\lambda {\overrightarrow {x}}\in U,W\quad$

Anwendung der Unterraumkriterien für U:

U ist nicht leer, denn der Nullvektor ist zum Beispiel enthalten

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in U\quad$

Additivität

Sei

${\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\-x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

${\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

Dann ist

${\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\-x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&+&y_{1}\\-x_{2}&+&-y_{2}\\x_{3}&+&y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\--x_{2}-y_{2}\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}\in U\quad$

Homogenität

$\lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\\lambda -x_{2}\\\lambda x_{3}\end{pmatrix}}\in U\quad$

$\Longrightarrow$ U ist ein Teilraum von V

Anwendung der Unterraumkriterien für W:

W ist nicht leer, denn der Nullvektor ist zum Beispiel enthalten

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\in W\quad$

Additivität

Sei

${\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

${\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

Dann ist

${\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&+&y_{1}\\-x_{2}&+&-y_{2}\\x_{3}&+&y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\--x_{2}-y_{2}\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}\in W\quad$

Homogenität

$\lambda {\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}\lambda x_{1}\\\lambda x_{1}\\\lambda x_{3}\end{pmatrix}}\in W\quad$

$\Longrightarrow$ W ist ein Teilraum von V

Dimension von U $\left|{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\right|=2$

Dimension von W $\left|{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right|=2$

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Zur Überprüfung, ob eine nicht leere Teilmenge $U$ von $V$ einen Unterraum bildet, muss man nur untersuchen, ob zu je zwei Vektoren ${\vec {x}},{\vec {y}}\in U$ und $\lambda \in K$ auch $({\vec {x}}+{\vec {y}})$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in U$.

Dimension

Dimension

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $V=\mathbb {C} ^{3},U=\left\{\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\in V\mid z_{1}-z_{2}=z_{3}\right\},W=\left\{\left(z_{1},z_{2},z_{3}\right)\in V\mid z_{2}=z_{1}\right\}$.

Zeigen Sie, dass $U$ und $W$ Teilräume von $V$ sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Zur Überprüfung, ob eine nicht leere Teilmenge $U$ von $V$ einen Unterraum bildet, muss man nur untersuchen, ob zu je zwei Vektoren ${\vec {x}},{\vec {y}}\in U$ und $\lambda \in K$ auch $({\vec {x}}+{\vec {y}})$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in U$.

Unterraum U

$U$ ist eine nicht leere Menge, da der Nullvektor ${\vec {0_{V}}}\in U$ mit $z_{1}-z_{2}=z_{3}\equiv 0-0=0$.

Seien ${\vec {x}}=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ und ${\vec {y}}=\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)$ zwei Vektoren aus $U$. Wir müssen zeigen, dass $U$ bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Es muss gelten $\colon$

${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U\implies ({\vec {x}}+{\vec {y}})\in U$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in U\,$ mit $\lambda \in C$.

• Vertäglichkeit bezüglich der Addition:

${\begin{alignedat}{1}\quad {\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U&\implies {\text{ es gilt }}x_{1}-x_{2}=x_{3}{\text{ und }}y_{1}-y_{2}=y_{3}\implies {\vec {z}}={\vec {x}}+{\vec {y}}=\left(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right)\implies \\&\implies (x_{1}-x_{2}-x_{3})+(y_{1}-y_{2}-y_{3})=0\implies (x_{1}+y_{1})-(x_{2}+y_{2})=(x_{3}+y_{3})\implies {\vec {z}}\in U.\end{alignedat}}$

• Vertäglichkeit bezüglich der Skalarmultiplikation:

${\begin{alignedat}{1}\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\,{\vec {x}}\in U&\implies \lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot \left(\,x_{1},\,x_{1},\,x_{3}\,\right)=\left(\,\lambda \cdot x_{1},\,\lambda \cdot x_{2},\,\lambda \cdot x_{3}\,\right)\implies {\text{ da }}{\vec {x}}\in U\,\\&{\text{ gilt }}x_{1}-x_{2}=x_{3}{\text{ und es gilt }}\lambda \cdot x_{1}-\lambda \cdot x_{2}=\lambda \cdot x_{3}\implies (\lambda \cdot {\vec {x}})\in U.\end{alignedat}}$

• $\implies U$ ist Unterraum von $V$

• Dimension von $U$ mit der Formel: $z_{1}-z_{2}=z_{3}$:

Seien $z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C}$, dann gilt $z_{3}=z_{1}-z_{2}$. D.h. wir haben zwei Wahlmöglichkeit für die drei Koordinaten $z_{1},\,z_{2}$ und $z_{3}$ leitet sich daraus ab. Als Lösungsraum erhalten wir eine Ebene. Wir können diese Ebene z.B. durch die beiden nachstehenden Vektoren aufspannen.

Wir wählen die ersten beiden Koordinaten frei, aber so dass diese beiden Vektor nicht voneinander linear abhängig sind und erhalten die abgeleitete dritte Koordinate.

${\vec {x}}=\left(1,\,0,\,1\right)$ und ${\vec {y}}=\left(0,\,1,\,-1\right)$.

Kontrolle der linearen Unabhängigkeit über die Matrix$\colon \,A={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}$

Wir haben wirklich zwei linear unabhängige Vektoren.

• D.h. die Dimension von $U\colon \,\dim(U)=2$.

Unterraum W

$W$ ist eine nicht leere Menge, da der Nullvektor ${\vec {0_{V}}}\in W$ mit $z_{2}=z_{1}$.

Seien ${\vec {x}}=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ und ${\vec {y}}=\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)$ zwei Vektoren aus $W$. Wir müssen zeigen, dass $W$ bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Es muss gelten $\colon$

${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in W\implies ({\vec {x}}+{\vec {y}})\in W$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in W\,$ mit $\lambda \in C$.

• Vertäglichkeit bezüglich der Addition:

${\begin{alignedat}{1}\quad {\vec {x}},\,{\vec {y}}\in W&\implies {\text{ es gilt }}x_{1}=x_{2}{\text{ und }}y_{1}=y_{2}\implies {\vec {z}}={\vec {x}}+{\vec {y}}=\left(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right)\implies \\&\implies (x_{1}-x_{2})+(y_{1}-y_{2})=0\implies (x_{1}+y_{1})=(x_{2}+y_{2})\implies {\vec {z}}\in U.\end{alignedat}}$

• Vertäglichkeit bezüglich der Skalarmultiplikation:

${\begin{alignedat}{1}\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\,{\vec {x}}\in U&\implies \lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot \left(\,x_{1},\,x_{1},\,x_{3}\,\right)=\left(\,\lambda \cdot x_{1},\,\lambda \cdot x_{2},\,\lambda \cdot x_{3}\,\right)\implies {\text{ da }}{\vec {x}}\in U\,\\&{\text{ gilt }}x_{1}=x_{2}{\text{ und es gilt }}\lambda \cdot x_{1}=\lambda \cdot x_{2}\implies (\lambda \cdot {\vec {x}})\in U.\end{alignedat}}$

• $\implies W$ ist Unterraum von $V$

• Dimension von $W$ mit der Formel: $z_{1}=z_{2}$:

Seien $z_{1},\,z_{3}\in \mathbb {C}$, dann gilt $z_{2}=z_{1}$. D.h. wir haben zwei Wahlmöglichkeit für die drei Koordinaten $z_{1},\,z_{3}$ und $z_{2}$ leitet sich daraus ab. Als Lösungsraum erhalten wir eine Ebene. Wir können diese Ebene z.B. durch die beiden nachstehenden Vektoren aufspannen.

Wir wählen die erste und die letzte Koordinate frei, aber so dass diese beiden Vektor nicht voneinander linear abhängig sind und erhalten die abgeleitete dritte Koordinate $z_{2}$.

${\vec {x}}=\left(1,\,1,\,0\right)$ und ${\vec {y}}=\left(0,\,0,\,1\right)$.

Anmerkung: Diese beiden Vektoren sind sicher linear unabhängige Vektoren. Vom zweiten Vektor ausgehend kann ich weder $x_{1}$ noch $x_{2}$ erzeugen und vom ersten Vektor ausgehend kann ich $y_{3}$ nicht erzeugen.

• D.h. die Dimension von $W\colon \,\dim(W)=2$.

$\qquad \qquad \blacksquare$

Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Dimension

Dimension

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)

Lösung von Gittenburg

U ist Teilraum von V

1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
2. abgeschlossen bezüglich +
   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{1}+x_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\\x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}$
3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

W ist Teilraum von V

1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
2. abgeschlossen bezüglich +
   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\-x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{1}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\-(x_{1}+y_{1})\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}$
3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

Dimension von U

$\left|{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}\right|=2$

Dimension von W

$\left|{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right|=2$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum
• Lineare Abbildung
• Homomorphismus
• Matrix

Ähnliche Beispiele:

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