TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 524

Sei $V=\mathbb {C} ^{3},$

${\begin{aligned}U&=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V\mid z_{1}+z_{2}=z_{3}\},\\W&=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V\mid z_{2}=-z_{1}\}.\end{aligned}}$

Zeigen Sie, dass $U$ und $W$ Teilräume von $V$ sind und bestimmen Sie deren Dimension.

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}}

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Dimension

Dimension

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)

Lösung von Gittenburg

U ist Teilraum von V

1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
2. abgeschlossen bezüglich +
   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{1}+x_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\\x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}$
3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

W ist Teilraum von V

1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
2. abgeschlossen bezüglich +
   ${\begin{pmatrix}x_{1}\\-x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\\-y_{1}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\-(x_{1}+y_{1})\\x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}$
3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

Dimension von U

$\left|{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}\right|=2$

Dimension von W

$\left|{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right|=2$

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Zur Überprüfung, ob eine nicht leere Teilmenge $U$ von $V$ einen Unterraum bildet, muss man nur untersuchen, ob zu je zwei Vektoren ${\vec {x}},{\vec {y}}\in U$ und $\lambda \in K$ auch $({\vec {x}}+{\vec {y}})$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in U$.

Dimension

Dimension

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $V=\mathbb {C} ^{3}$, $U=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{1}+z_{2}=z_{3}\}$, $W=\{(z_{1},z_{2},z_{3})\in V|z_{2}=-z_{1}\}$.

Zeigen Sie, dass $U$ und $W$ Teilräume von $V$ sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Zur Überprüfung, ob eine nicht leere Teilmenge $U$ von $V$ einen Unterraum bildet, muss man nur untersuchen, ob zu je zwei Vektoren ${\vec {x}},{\vec {y}}\in U$ und $\lambda \in K$ auch $({\vec {x}}+{\vec {y}})$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in U$.

Unterraum U

$U$ ist eine nicht leere Menge, da der Nullvektor ${\vec {0_{V}}}\in U$ mit $z_{1}+z_{2}=z_{3}\equiv 0+0=0$.

Seien ${\vec {x}}=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ und ${\vec {y}}=\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)$ zwei Vektoren aus $U$. Wir müssen zeigen, dass $U$ bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Es muss gelten $\colon$

${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U\implies ({\vec {x}}+{\vec {y}})\in U$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in U\,$ mit $\lambda \in C$.

• Vertäglichkeit bezüglich der Addition:

${\begin{alignedat}{1}\quad {\vec {x}},\,{\vec {y}}\in U&\implies {\text{ es gilt }}x_{1}+x_{2}=x_{3}{\text{ und }}y_{1}+y_{2}=y_{3}\implies {\vec {z}}={\vec {x}}+{\vec {y}}=\left(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right)\implies \\&\implies (x_{1}+x_{2}-x_{3})+(y_{1}+y_{2}-y_{3})=0\implies (x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})=(x_{3}+y_{3})\implies {\vec {z}}\in U.\end{alignedat}}$

• Vertäglichkeit bezüglich der Skalarmultiplikation:

${\begin{alignedat}{1}\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\,{\vec {x}}\in U&\implies \lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot \left(\,x_{1},\,x_{1},\,x_{3}\,\right)=\left(\,\lambda \cdot x_{1},\,\lambda \cdot x_{2},\,\lambda \cdot x_{3}\,\right)\implies {\text{ da }}{\vec {x}}\in U\,\\&{\text{ gilt }}x_{1}+x_{2}=x_{3}{\text{ und es gilt }}\lambda \cdot x_{1}+\lambda \cdot x_{2}=\lambda \cdot x_{3}\implies (\lambda \cdot {\vec {x}})\in U.\end{alignedat}}$

• $\implies U$ ist Unterraum von $V$

• Dimension von $U$ mit der Formel: $z_{1}+z_{2}=z_{3}$:

Seien $z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C}$, dann gilt $z_{3}=z_{1}+z_{2}$. D.h. wir haben zwei Wahlmöglichkeit für die drei Koordinaten $z_{1},\,z_{2}$ und $z_{3}$ leitet sich daraus ab. Als Lösungsraum erhalten wir eine Ebene.

Wir können diese Ebene z.B. durch die beiden nachstehenden Vektoren aufspannen.

Wir wählen die ersten beiden Koordinaten frei, aber so dass diese beiden Vektor nicht voneinander linear abhängig sind und erhalten die abgeleitete dritte Koordinate.

${\vec {x}}=\left(1,\,1,\,0\right)$ und ${\vec {y}}=\left(0,\,1,\,1\right)$.

Kontrolle der linearen Unabhängigkeit über die Matrix $A\colon$ $A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}}{\begin{array}{r|}-Z2\,\\\,\end{array}}\to {\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&1\end{pmatrix}}$

Anmerkung: Aus dem zweiten Vektor kann ich $x_{1}$ nicht erzeugen und aus dem ersten Vektor kann ich $y_{3}$ nicht erzeugen.

• D.h. wir haben zwei linear unabhängig Vektoren. Daher ist die Dimension von $U\colon \,\dim(U)=2$.

Unterraum W

$W$ ist eine nicht leere Menge, da der Nullvektor ${\vec {0_{V}}}\in W$ mit $z_{2}=-z_{1}$.

Seien ${\vec {x}}=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ und ${\vec {y}}=\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)$ zwei Vektoren aus $W$. Wir müssen zeigen, dass $W$ bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Es muss gelten $\colon$

${\vec {x}},\,{\vec {y}}\in W\implies ({\vec {x}}+{\vec {y}})\in W$ und $(\lambda \cdot {\vec {x}})\in W\,$ mit $\lambda \in C$.

• Vertäglichkeit bezüglich der Addition:

${\begin{alignedat}{1}\quad {\vec {x}},\,{\vec {y}}\in W&\implies {\text{ es gilt }}x_{2}=-x_{1}{\text{ und }}y_{2}=-y_{1}\implies {\vec {z}}={\vec {x}}+{\vec {y}}=\left(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right)\implies \\&\implies (x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})=0\implies (x_{1}+y_{1})=-(x_{2}+y_{2})\implies {\vec {z}}\in W.\end{alignedat}}$

• Vertäglichkeit bezüglich der Skalarmultiplikation:

${\begin{alignedat}{1}\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\,{\vec {x}}\in W&\implies \lambda \cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot \left(\,x_{1},\,x_{1},\,x_{3}\,\right)=\left(\,\lambda \cdot x_{1},\,\lambda \cdot x_{2},\,\lambda \cdot x_{3}\,\right)\implies {\text{ da }}{\vec {x}}\in W\,\\&{\text{ gilt }}x_{2}=-x_{2}{\text{ und es gilt }}\lambda \cdot (x_{1}+x_{2})=0\implies (\lambda \cdot {\vec {x}})\in W.\end{alignedat}}$

• $\implies W$ ist Unterraum von $V$

• Dimension von $W$ mit der Formel: $z_{2}=-z_{1}$:

Seien $z_{1},\,z_{3}\in \mathbb {C}$, dann gilt $z_{2}=-z_{1}$. D.h. wir haben zwei Wahlmöglichkeit für die drei Koordinaten $z_{1},\,z_{3}$ und $z_{2}$ leitet sich daraus ab. Als Lösungsraum erhalten wir eine Ebene.

Wir können diese Ebene z.B. durch die beiden nachstehenden Vektoren aufspannen.

Wir wählen die erste und letzte Koordinate frei, aber so dass diese beiden Vektor nicht voneinander linear abhängig sind und erhalten die abgeleitete dritte Koordinate.

${\vec {x}}=\left(1,\,-1,\,0\right)$ und ${\vec {y}}=\left(0,\,0,\,1\right)$.

Diese beiden Vektoren sind linearen Unabhängigkeit, da im ersten Vektor $x_{3}=0$ und im zweiten Vektor $x_{1}=0,\,x_{2}=0$.

Anmerkung: Aus dem zweiten Vektor kann ich weder $x_{1}$ noch $x_{2}$ erzeugen und aus dem ersten Vektor kann ich $y_{3}$ nicht erzeugen.

• D.h. wir haben zwei linear unabhängig Vektoren. Daher ist die Dimension von $W\colon \,\dim(W)=2$.

$\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum
• Lineare Abbildung
• Homomorphismus
• Matrix

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