TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 31

Man untersuche die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle $n\in \mathbb{N}$ definiert).

$a_n=\frac{2n^3+2n-3}{4n^3+n^2+5}$.

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Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 31.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $ℝ$ (aber z.B. nicht in $\mathbb{Q}$!) gilt:

   • $a_n\nearrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{sup}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
   • $a_n\searrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{inf}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
3. $lim{x}_n=x,lim{y}_n=y⟹\{\begin{array}{c}lim(x_n\pm y_n)=x\pm y\\ lim(x_n\cdot y_n)=x\cdot y\\ lim(\frac{x_n}{y_n})=\frac{x}{y}{y}_n,y\ne 0\end{array}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 00:19, 12. Mär. 2026 (CET)

Man untersuche die Folge ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. (Die $a_n$ sind für fast alle$n\in \mathbb{N}$ definiert). $a_n=\frac{2n^3+2n-3}{4n^3+n^2+5}$.

Wohldefiniert:

Wir untersuchen, ob in der Folge $a_n$ der Nenner $4n^3+n^2+5$ den Wert $0$ annehmen kann.

Für jede natürliche Zahl $o\in \mathbb{N},o\ge 1$ gilt:

$4\cdot o^3>0,o^2>0,5>0⟹4\cdot o^3+o^2+5>0⟹$

$⟹$ Der Nenner des Bruches ist für alle $n\in \mathbb{N}$ ungleich $0$. Damit ist auch der Bruch für alle $n\in \mathbb{N}$ wohldefiniert. Daher sind alle Folgenglieder und nicht nur fast alle $a_n,n\in \mathbb{N}$ wohldefiniert.

Konvergenz und Grenzwert:

Wir dividieren durch $n^3$:

$a_n=\frac{2n^3+2n-3}{4n^3+n^2+5}=\frac{2+2/n^2-3/n^3}{4+1/n+5/n^3}⟹\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2+2/n^2-3/n^3}{4+1/n+5/n^3}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2+0-0}{4+0+0}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Grenzwert
• Wohldefiniertheit

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