TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 31

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle $n\in \mathbb {N}$ definiert).

$a_{n}={\frac {2n^{3}+2n-3}{4n^{3}+n^{2}+5}}$.

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Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 31.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$!) gilt:

   • $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
   • $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
3. $\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 00:19, 12. Mär. 2026 (CET)

Man untersuche die Folge $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. (Die $a_{n}$ sind für fast alle$n\in \mathbb {N}$ definiert). $a_{n}={\frac {2n^{3}+2n-3}{4n^{3}+n^{2}+5}}$.

Wohldefiniert:

Wir untersuchen, ob in der Folge $a_{n}$ der Nenner $4n^{3}+n^{2}+5$ den Wert $0$ annehmen kann.

Für jede natürliche Zahl $o\in \mathbb {N} ,o\geq 1$ gilt:

$4\cdot o^{3}>0,\quad o^{2}>0,\quad 5>0\implies 4\cdot o^{3}+o^{2}+5>0\implies$

$\implies$ Der Nenner des Bruches ist für alle $n\in \mathbb {N}$ ungleich $0$. Damit ist auch der Bruch für alle $n\in \mathbb {N}$ wohldefiniert. Daher sind alle Folgenglieder und nicht nur fast alle $a_{n},n\in \mathbb {N}$ wohldefiniert.

Konvergenz und Grenzwert:

Wir dividieren durch $n^{3}$:

$a_{n}={\frac {2n^{3}+2n-3}{4n^{3}+n^{2}+5}}={\frac {2+2/n^{2}-3/n^{3}}{4+1/n+5/n^{3}}}\implies \lim _{n\to +\infty }\,a_{n}=\lim _{n\to +\infty }\,{\frac {2+2/n^{2}-3/n^{3}}{4+1/n+5/n^{3}}}=\lim _{n\to +\infty }\,{\frac {2+0-0}{4+0+0}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$. $\quad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Grenzwert
• Wohldefiniertheit

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