TU Wien:Mathematik 1 VO (Drmota)/Theorie zur Prüfung 2007-07-02

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Kombinatorik[edit]

Relation und Abbildungen[edit]

Äquivalenzrelation[edit]

Äquivalenzrelation
Äquivalenzrelation[edit]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: \forall a\, \in A: aRa,

Symmetrie: \forall a,b\, \in A: aRb \Rightarrow bRa,

Transitivität: \forall a,b,c\, \in A: (aRb \wedge bRc) \Rightarrow aRc.

Halbordnung[edit]

Halbordnung
Halbordnung[edit]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

  • Reflexivität: \forall a\, \in A: aRa,
  • Antisymmetrie: \forall a,b\, \in A: (aRb \wedge bRa) \Rightarrow a = b,
  • Transitivität: \forall a,b,c\, \in A: (aRb \wedge bRc) \Rightarrow aRc.

Funktionen[edit]

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: \forall b\in B\ \exists a\in A: b=f(a)

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": a_{1}, a_{2}  \in  A, a_{1} \neq a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \neq f(a_{2}) oder äquivalent: a_{1}, a_{2}  \in  A, f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}

Bijektivität
Bijektivität[Bearbeiten, WP, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion  f^{-1}().

Graphentheorie[edit]

Algebraische Strukturen[edit]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: G \times G = G, für a,b \in G \rightarrow a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion von  \circ : G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Neutrales Element: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Ringe und Körper[edit]

(R,+,*)

  Nr.   Ring           Ring mit Einselelement      Kommunitativen Ring    Integritätsring    Körper
  1     (R,+), (R,*)   (R,+), (R,*)                (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  2     (R,+), (R,*)   (R,+), (R,*)                (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  3     (R,+)          (R,+), (R,*)                (R,+)                  (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  4     (R,+)          (R,+)                       (R,+)                  (R,+)              (R,+) ,(R,*)*
  5     (R,+)          (R,+)                       (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)

zusätzlich gilt für alle:

  1. a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
  2. (a + b) * c = a * c + b * c

für Integritätsring:

  1. Nullteilerfreier Ring (a != 0, b != 0 -> a*b != 0

für Körper:

  1. \forall a \in K ohne {0} \exists a' : a * a' = a' * a = 1

Differentialrechnung[edit]

Konvergenz[edit]

Vorlage:Konvergenz von Folgen

Vorlage:Konvergenz von Reihen

Allgemeines[edit]

Vorlage:Monotonie

Vorlage:Beschränktheit

Vorlage:Grenzwert

Kriterien[edit]

Majorantenkriterium

Wenn \sum b_n konvergent und \left|a_n\right|\leq b_n\;\forall n, dann ist \sum a_n absout konvergent.   (Satz 4.47)

Quotientenkriterium

Wenn \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q<1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n absolut konvergent.

Falls hingegen \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\geq 1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n divergent.   (Satz 4.52)

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe \sum a_n, d.h. \sgn(a_n) \ = \ (-1)^n, und \left|a_n\right| monoton fallend und konvergent nach \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0 gilt:

\sum a_n ist konvergent.   (Satz 4.41)

Vorlage:Cauchy-Kriterium

Prüfungsordner[edit]

Drmota[edit]

http://www.informatik-forum.at/showthread.php?p=116178#post116178

--> PO_Drmota20040319