TU Wien:Mathematik 1 VO (Drmota)/Theorie zur Prüfung 2007-07-02

From VoWi
Jump to navigation Jump to search

Kombinatorik[edit]

Relation und Abbildungen[edit]

Äquivalenzrelation[edit]

Äquivalenzrelation
Äquivalenzrelation[edit]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: ,

Symmetrie: ,

Transitivität: .

Halbordnung[edit]

Halbordnung
Halbordnung[edit]

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

  • Reflexivität: ,
  • Antisymmetrie: ,
  • Transitivität: .

Funktionen[edit]

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": oder äquivalent:

Bijektivität
Bijektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion .

Graphentheorie[edit]

Algebraische Strukturen[edit]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: , für (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion von
  2. Assoziativgesetz: für alle .
  3. Neutrales Element: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
  4. Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: für alle .
  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Ringe und Körper[edit]

(R,+,*)

  Nr.   Ring           Ring mit Einselelement      Kommunitativen Ring    Integritätsring    Körper
  1     (R,+), (R,*)   (R,+), (R,*)                (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  2     (R,+), (R,*)   (R,+), (R,*)                (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  3     (R,+)          (R,+), (R,*)                (R,+)                  (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  4     (R,+)          (R,+)                       (R,+)                  (R,+)              (R,+) ,(R,*)*
  5     (R,+)          (R,+)                       (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)

zusätzlich gilt für alle:

für Integritätsring:

  1. Nullteilerfreier Ring (a != 0, b != 0 -> a*b != 0

für Körper:

Differentialrechnung[edit]

Konvergenz[edit]

Konvergenz einer Folge[edit]

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

  1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
  2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
    In (aber z.B. nicht in !) gilt:


Konvergenzeigenschaften von Reihen:

  • Ist konvergent, dann gilt , aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
  • heißt absolut konvergent, wenn konvergent ist.   (Definition 4.43)
"absolut konvergent" "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Allgemeines[edit]

Monotonie von Folgen und Reihen[edit]
  • heißt monoton
  • heißt streng monoton
Beschränktheit[edit]

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

  • heißt nach beschränkt
  • heißt beschränkt, wenn sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt.


Eine reelle Zahl heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge , falls in jeder -Umgebung von fast alle Folgenglieder liegen, d.h., falls

  (Definition 4.4)

Kriterien[edit]

Majorantenkriterium

Wenn konvergent und , dann ist absout konvergent.   (Satz 4.47)

Quotientenkriterium

Wenn , dann ist absolut konvergent.

Falls hingegen , dann ist divergent.   (Satz 4.52)

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe , d.h. , und monoton fallend und konvergent nach gilt:

ist konvergent.   (Satz 4.41)


.   (Definition 4.28)

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in ).

Prüfungsordner[edit]

Drmota[edit]

http://www.informatik-forum.at/showthread.php?p=116178#post116178

--> PO_Drmota20040319