TU Wien:Mathematik 1 VO (Drmota)/Theorie zur Prüfung 2007-07-02

Relation und Abbildungen

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: $\forall a\,\in A:aRa$,

Symmetrie: $\forall a,b\,\in A:aRb\Rightarrow bRa$,

Transitivität: $\forall a,b,c\,\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Halbordnung

Halbordnung

Halbordnung

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

• Reflexivität: $\forall a\,\in A:aRa$,
• Antisymmetrie: $\forall a,b\,\in A:(aRb\wedge bRa)\Rightarrow a=b$,
• Transitivität: $\forall a,b,c\,\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Funktionen

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A:b=f(a)$

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Algebraische Strukturen

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: $G\times G=G$, für $a,b\in G\rightarrow a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion von $\circ :G\times G\rightarrow G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Neutrales Element: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a'\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a'=a'\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Ringe und Körper

(R,+,*)

  Nr.   Ring           Ring mit Einselelement      Kommunitativen Ring    Integritätsring    Körper
  1     (R,+), (R,*)   (R,+), (R,*)                (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  2     (R,+), (R,*)   (R,+), (R,*)                (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  3     (R,+)          (R,+), (R,*)                (R,+)                  (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  4     (R,+)          (R,+)                       (R,+)                  (R,+)              (R,+) ,(R,*)*
  5     (R,+)          (R,+)                       (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)

zusätzlich gilt für alle:

1. $a*(b+c)=(a*b)+(a*c)$
2. $(a+b)*c=a*c+b*c$

für Integritätsring:

1. Nullteilerfreier Ring (a != 0, b != 0 -> a*b != 0

für Körper:

1. $\forall a\in Kohne{0}\exists a':a*a'=a'*a=1$

Differentialrechnung

Konvergenz

Konvergenz_von_Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$!) gilt:

   • $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
   • $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
3. $\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Konvergenz_von_Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergent, dann gilt $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• $\sum a_{n}$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_{n}\right|$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" ${\begin{Bmatrix}\Rightarrow \\{\underset {i.A.}{\nLeftarrow }}\end{Bmatrix}}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Allgemeines

Monotonie

Monotonie von Folgen und Reihen

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt monoton ${\begin{Bmatrix}{\text{wachsend}}\\{\text{fallend}}\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}x_{n+1}\geq x_{n}\\x_{n+1}\leq x_{n}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt streng monoton ${\begin{Bmatrix}{\text{wachsend}}\\{\text{fallend}}\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}x_{n+1}>x_{n}\\x_{n+1}<x_{n}\end{cases}}$

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt nach ${\begin{Bmatrix}{\text{oben}}\\{\text{unten}}\end{Bmatrix}}$ beschränkt $\Longleftrightarrow \exists \,a\in \mathbb {R} \quad \forall \,n\in \mathbb {N} \colon \,{\begin{cases}x_{n}\leq a&{\text{obere Schranke}}\\x_{n}\geq a&{\text{untere Schranke}}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt beschränkt, wenn diese sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt ist.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Kriterien

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_{n}$ konvergent und $\left|a_{n}\right|\leq b_{n}$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Quotientenkriterium

Wenn $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q<1\;\forall \,n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1\;\forall \,n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ divergent.   (Satz 4.52)

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_{n}$, d.h. $\operatorname {sgn}(a_{n})\ =\ (-1)^{n}$, und $\left|a_{n}\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ gilt:

$\sum a_{n}$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Cauchykriterium

$\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }:\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists N(\varepsilon )\quad \forall n,m\geq N(\varepsilon ):\quad \left|x_{n}-x_{m}\right|<\varepsilon$.   (Definition 4.28)

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in $\mathbb {R}$).

Prüfungsordner

Drmota

https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?p=116178#post116178

--> PO_Drmota20040319