TU Wien:Mathematik 1 VO (Drmota)/Theorie zur Prüfung 2007-07-02
Kombinatorik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Relation und Abbildungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Äquivalenzrelation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Äquivalenzrelation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:
Reflexivität: ,
Symmetrie: ,
Transitivität: .
Halbordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Halbordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:
- Reflexivität: ,
- Antisymmetrie: ,
- Transitivität: .
Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:
"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": oder äquivalent:
Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion .
Graphentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Algebraische Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen
Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.
Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:
- Abgeschlossenheit: , für (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion von
- Assoziativgesetz: für alle .
- Neutrales Element: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
- Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
- Kommutativgesetz: für alle .
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe 1 X X X X X 2 X X X X 3 X X X 4 X X 5 X
Ringe und Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(R,+,*)
Nr. Ring Ring mit Einselelement Kommunitativen Ring Integritätsring Körper 1 (R,+), (R,*) (R,+), (R,*) (R,+), (R,*) (R,+), (R,*) (R,+), (R,*) 2 (R,+), (R,*) (R,+), (R,*) (R,+), (R,*) (R,+), (R,*) (R,+), (R,*) 3 (R,+) (R,+), (R,*) (R,+) (R,+), (R,*) (R,+), (R,*) 4 (R,+) (R,+) (R,+) (R,+) (R,+) ,(R,*)* 5 (R,+) (R,+) (R,+), (R,*) (R,+), (R,*) (R,+), (R,*)
zusätzlich gilt für alle:
für Integritätsring:
- Nullteilerfreier Ring (a != 0, b != 0 -> a*b != 0
für Körper:
Differentialrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Konvergenz einer Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Konvergenzeigenschaften von Folgen:
- Jede konvergente Folge ist beschränkt.
- Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
- In (aber z.B. nicht in !) gilt:
Konvergenzeigenschaften von Reihen:
- Ist konvergent, dann gilt , aber nicht umgekehrt. (Satz 4.35)
- heißt absolut konvergent, wenn konvergent ist. (Definition 4.43)
- "absolut konvergent" "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz. (Satz 4.44)
Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Monotonie von Folgen und Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- heißt monoton
- heißt streng monoton
Beschränktheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Beschränktheit von Folgen und Reihen:
- heißt nach beschränkt
- heißt beschränkt, wenn sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt.
Eine reelle Zahl heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge , falls in jeder -Umgebung von fast alle Folgenglieder liegen, d.h., falls
(Definition 4.4)
Kriterien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wenn konvergent und für fast alle , dann ist absolut konvergent. (Satz 4.47)
Wenn , dann ist absolut konvergent.
Falls hingegen , dann ist divergent. (Satz 4.52)
Für eine alternierende Reihe , d.h. , und monoton fallend und konvergent nach gilt:
ist konvergent. (Satz 4.41)
. (Definition 4.28)
Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in ).
Prüfungsordner[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Drmota[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
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