TU Wien:Mathematik 1 VO (Drmota)/Theorie zur Prüfung 2007-07-02

Relation und Abbildungen

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: $\mathrm{\forall }a\in A:aRa$,

Symmetrie: $\mathrm{\forall }a,b\in A:aRb\Rightarrow bRa$,

Transitivität: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Halbordnung

Halbordnung

Halbordnung

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Halbordnung oder partielle Ordnung, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

• Reflexivität: $\mathrm{\forall }a\in A:aRa$,
• Antisymmetrie: $\mathrm{\forall }a,b\in A:(aRb\wedge bRa)\Rightarrow a=b$,
• Transitivität: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Funktionen

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\mathrm{\forall }b\in B\mathrm{\exists }a\in A:b=f(a)$

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_1,a_2\in A,a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$ oder äquivalent: $a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Algebraische Strukturen

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: $G\times G=G$, für $a,b\in G\to a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion von $\circ :G\times G\to G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Neutrales Element: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a^{\prime }\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Ringe und Körper

(R,+,*)

  Nr.   Ring           Ring mit Einselelement      Kommunitativen Ring    Integritätsring    Körper
  1     (R,+), (R,*)   (R,+), (R,*)                (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  2     (R,+), (R,*)   (R,+), (R,*)                (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  3     (R,+)          (R,+), (R,*)                (R,+)                  (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)
  4     (R,+)          (R,+)                       (R,+)                  (R,+)              (R,+) ,(R,*)*
  5     (R,+)          (R,+)                       (R,+), (R,*)           (R,+), (R,*)       (R,+), (R,*)

zusätzlich gilt für alle:

1. $a\ast (b+c)=(a\ast b)+(a\ast c)$
2. $(a+b)\ast c=a\ast c+b\ast c$

für Integritätsring:

1. Nullteilerfreier Ring (a != 0, b != 0 -> a*b != 0

für Körper:

1. $\mathrm{\forall }a\in Kohne0\mathrm{\exists }{a}^{\prime }:a\ast a^{\prime }=a^{\prime }\ast a=1$

Differentialrechnung

Konvergenz

Konvergenz_von_Folgen

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $ℝ$ (aber z.B. nicht in $\mathbb{Q}$!) gilt:

   • $a_n\nearrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{sup}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
   • $a_n\searrow :\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\text{inf}(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$
3. $lim{x}_n=x,lim{y}_n=y⟹\{\begin{array}{c}lim(x_n\pm y_n)=x\pm y\\ lim(x_n\cdot y_n)=x\cdot y\\ lim(\frac{x_n}{y_n})=\frac{x}{y}{y}_n,y\ne 0\end{array}$

Konvergenz_von_Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergent, dann gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• $\sum a_n$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_n\right|$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" $\left\{\begin{array}{c}\Rightarrow \\ \underset{i.A.}{\nLeftarrow }\end{array}\right\}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Allgemeines

Monotonie

Monotonie von Folgen und Reihen

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt monoton $\left\{\begin{array}{c}\text{wachsend}\\ \text{fallend}\end{array}\right\}⟺\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}\ge x_n\\ x_{n+1}\le x_n\end{array}$

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt streng monoton $\left\{\begin{array}{c}\text{wachsend}\\ \text{fallend}\end{array}\right\}⟺\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}>x_n\\ x_{n+1}<x_n\end{array}$

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt nach $\left\{\begin{array}{c}\text{oben}\\ \text{unten}\end{array}\right\}$ beschränkt $⟺\mathrm{\exists }a\in ℝ\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:\{\begin{array}{cc}{x}_n\le a& \text{obere Schranke}\\ x_n\ge a& \text{untere Schranke}\end{array}$

• $⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt beschränkt, wenn diese sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt ist.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Kriterien

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_n$ konvergent und $\left|a_n\right|\le b_n$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_n$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Quotientenkriterium

Wenn $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le q<1\mathrm{\forall }n\ge n_0$, dann ist $\sum a_n$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge 1\mathrm{\forall }n\ge n_0$, dann ist $\sum a_n$ divergent.   (Satz 4.52)

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_n$, d.h. $\mathrm{sgn}(a_n)=(-1{)}^n$, und $\left|a_n\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$ gilt:

$\sum a_n$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Cauchykriterium

$⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}:\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N(\epsilon )\mathrm{\forall }n,m\ge N(\epsilon ):|x_n-x_m|<\epsilon$.   (Definition 4.28)

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in $ℝ$).

Prüfungsordner

Drmota

https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?p=116178#post116178

--> PO_Drmota20040319